Integrali con log in campo complesso
Ciao!
Ho provato a fare degli esercizi di calcolo di integrali impropri che coinvolgono funzioni logaritmiche nel campo complesso.
Il mio problema è che non ho ben capito, dato che sul mio libro non è spiegato quasi per niente, come funziona la retta con l'alfa che si sceglie ogni volta che si deve costruire il percorso sul quale calcolare poi l'integrale.
Cioè so che sulla retta in questione la funzione log non è continua e che la si deve scegliere in modo tale che non abbia punti in comune con i supporti delle curve che si scelgono per calcolare l'integrale...
però non riesco a capire in base a cosa si sceglie esattamente il termine alfa ed in particolare come si calcola l'argomento del log all'interno dell'integrale.
Vi porto un esempio:
sceglie di porre alfa = -pi-greco/mezzi e considera i seguenti percorsi:
ed arriva a scrivere questo:
come fa scrivere l'argomento del log nel secondo integrale? e perchè nel quarto l'argomento vale zero?
in base a cosa lo dice?
sulle mie dispense non c'è la spiegazione... purtroppo...
mi date delle delucidazioni... ?
Grazie!
Ho provato a fare degli esercizi di calcolo di integrali impropri che coinvolgono funzioni logaritmiche nel campo complesso.
Il mio problema è che non ho ben capito, dato che sul mio libro non è spiegato quasi per niente, come funziona la retta con l'alfa che si sceglie ogni volta che si deve costruire il percorso sul quale calcolare poi l'integrale.
Cioè so che sulla retta in questione la funzione log non è continua e che la si deve scegliere in modo tale che non abbia punti in comune con i supporti delle curve che si scelgono per calcolare l'integrale...
però non riesco a capire in base a cosa si sceglie esattamente il termine alfa ed in particolare come si calcola l'argomento del log all'interno dell'integrale.
Vi porto un esempio:
sceglie di porre alfa = -pi-greco/mezzi e considera i seguenti percorsi:
ed arriva a scrivere questo:
come fa scrivere l'argomento del log nel secondo integrale? e perchè nel quarto l'argomento vale zero?
in base a cosa lo dice?
sulle mie dispense non c'è la spiegazione... purtroppo...
mi date delle delucidazioni... ?
Grazie!
Risposte
Nel secondo integrale devi calcolare il log di un numero negativo .
In generale il log di un numero complesso z è : log |z| +i*arg(z); in questo caso z è un numero negativo e allora log t sarà dato da : log|t| +i*pi , in quanto i numeri negativi hanno argomento pari a : pi.
In generale il log di un numero complesso z è : log |z| +i*arg(z); in questo caso z è un numero negativo e allora log t sarà dato da : log|t| +i*pi , in quanto i numeri negativi hanno argomento pari a : pi.
e allora a questo punto non ha senso proprio scegliere l'alfa dato che cmq sia non viene preso proprio in considerazione no?
guardate, in quest'altro esercizio ad esempio...
perchè l'argomento diventa pi-greco/mezzi?
non riesco proprio a comprendere la cosa...
perchè l'argomento diventa pi-greco/mezzi?
non riesco proprio a comprendere la cosa...
nessun aiuto?
Penso si possa interpretare anche al seguente modo:
$log(it)=logt+logi=logt+log|i|+i*arg(i)=logt+log1+i*(pi/2)=logt+i*(pi/2)$
Tieni presente che il numero complesso i si rappresenta sull'asse complesso
positivo ( y >0,per capirci) ed ha quindi argomento=$pi/2$ (e modulo =1).
Archimede
$log(it)=logt+logi=logt+log|i|+i*arg(i)=logt+log1+i*(pi/2)=logt+i*(pi/2)$
Tieni presente che il numero complesso i si rappresenta sull'asse complesso
positivo ( y >0,per capirci) ed ha quindi argomento=$pi/2$ (e modulo =1).
Archimede
Ciao devo risolvere il secondo integrale postato da rocco.g e ho dei problemi
Ho trovato che i punti singolari sono 0,-1 e 1, che però escludo dalla circonferenza, e come argomento del log ho scelto da -pi/2 a 3pi/2
Ora andando a fare i conti, o quando calcolo la circonferenza su -1 e 1 sbaglio o è altro, perchè alla fine l'integrale mi viene zero mentre wolfram dice pi^2/4
Ho trovato che i punti singolari sono 0,-1 e 1, che però escludo dalla circonferenza, e come argomento del log ho scelto da -pi/2 a 3pi/2
Ora andando a fare i conti, o quando calcolo la circonferenza su -1 e 1 sbaglio o è altro, perchè alla fine l'integrale mi viene zero mentre wolfram dice pi^2/4
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