Integrali con la tangente

[alessandro.roma.1654]

ciao ragazzi dopo aver svolto svariati integrali mi è capitato un integrale in cui non riesco a svolgere ovvero ogni strada che prendo piano piano tende sempre piu a complicarsi. la traccia è la seguente

$\int (tan(x)^2+1)tan(2x) dx$

la strada piu ovvia è stata quella di scrivere $tan(x)^2+1$ come $1/cos(x)^2$ per poi integrare per parti ma poi mi esce un integrale comunque sia un po complicato

$-2\int tan(x)^2/cos(2x)^2$

datemi qualche consiglio grazie anticipatamente

[ciampax]

Io scriverei tutto in termini di $\sin x,\ \cos x$, sai? Ah, e una pignoleria notazionale: se scrivi $\cos(x)^2$, sembra che elevi al quadrato la $x$ nel coseno. I modi giusti di scrivere quello che volevi sono $\cos^2 x$ oppure $(\cos x)^2$.

[alessandro.roma.1654]

ma non sarebbe piu complicato ??? adesso ci provo se ho problemi riscrivo qui grazie della risposta

[ciampax]

Di solito si semplificano, invece. E comunque è possibile tu debba passare ad una trasformazione parametrica, in ogni caso (ma non ho fatto il conto preciso, vado ad occhio).

EDIT: ah no, ecco, ho trovato la via più veloce: poni $t=\tan x$ e riscrivi $\tan(2x)=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}$ usando la formula di duplicazione della tangente.

[alessandro.roma.1654]

seguendo i tuoi consigli mi esce ma mi puoi dire per favore come hai intuito questa strada lo so forse sarà esperienza ma su tanti esercizi a volte non riesco a scegliere le strade giuste per arrivare al risultato e sbaglio sempre

[ciampax]

Come hai detto, esperienza: gli integrali sono un "brutto affare", più ne fai, più ti fai l'occhio e trovi i metodi più veloci per affrontarli. Se dovessi dirti perché m'è venuto in mente di usare quella definizione, mi verrebbe da risponderti: perché c'erano un sacco di tangenti, manco fossimo in Italia!