[integrali] Cambiamento coord.
Ciao!
Ho dei problemi quando devo risolvere un integrale in analisi II operando un cambiamento di variabili.
Cioè dato l'integrale da calcolare su un insieme espresso in forma cartesiana... una volta che trovo a cosa devo uguagli i parametri, non riesco poi a riscrivere con i parametri l'insieme cartesiano.
Esiste un qualche metodo algoritmico da seguire senza perdersi in estenuanti calcoli?
Ad esempio, posto u = y - x^3 e v = y + x^3 e l'insieme in forma cartesiana è: E={ ... | x^3 =< y =< 3, x>=1} come fa a venire fuori: {0<= u <=1, u + 4 <= v <= 6 - u } ???
Ogni volta che devo fare queste trasformazioni perdo tantissimo tempo... potete darmi qualche consiglio?
Grazie.
Ho dei problemi quando devo risolvere un integrale in analisi II operando un cambiamento di variabili.
Cioè dato l'integrale da calcolare su un insieme espresso in forma cartesiana... una volta che trovo a cosa devo uguagli i parametri, non riesco poi a riscrivere con i parametri l'insieme cartesiano.
Esiste un qualche metodo algoritmico da seguire senza perdersi in estenuanti calcoli?
Ad esempio, posto u = y - x^3 e v = y + x^3 e l'insieme in forma cartesiana è: E={ ... | x^3 =< y =< 3, x>=1} come fa a venire fuori: {0<= u <=1, u + 4 <= v <= 6 - u } ???
Ogni volta che devo fare queste trasformazioni perdo tantissimo tempo... potete darmi qualche consiglio?
Grazie.
Risposte
Basta sostituire u e v nelle formule:
x^3 =< y --> x^3 - y =< 0 --> y - x^3 >= 0 --> u >=0
Spesso poi ci si arriva anche senza conti:
u e' massimo quando x e' minimo e y e' massimo: u <= 2.
Si tratta quindi di trovare gli estremi in cui variano le nuove varibili partendo da quella piu' evidente (la u qui) e poi facendo un po di conti per le altre: si tratta sempre di manipolare le equazioni della definizione dell'insieme di partenza per far "saltare fuori" la u e la v....
x^3 =< y --> x^3 - y =< 0 --> y - x^3 >= 0 --> u >=0
Spesso poi ci si arriva anche senza conti:
u e' massimo quando x e' minimo e y e' massimo: u <= 2.
Si tratta quindi di trovare gli estremi in cui variano le nuove varibili partendo da quella piu' evidente (la u qui) e poi facendo un po di conti per le altre: si tratta sempre di manipolare le equazioni della definizione dell'insieme di partenza per far "saltare fuori" la u e la v....
quindi dovrebbe uscire 0 <= u <= 2 giusto?
però sul libro mi porta 0 <= u <= 1
mah... cmq a me sembra tutto un pò difficoltoso e poco immediato...
ad esempio quest'altro, x^2 + y^2 - y <=0, y>=1/2, x>=0 non mi riesce proprio di portarlo in coord. polari...
però sul libro mi porta 0 <= u <= 1
mah... cmq a me sembra tutto un pò difficoltoso e poco immediato...
ad esempio quest'altro, x^2 + y^2 - y <=0, y>=1/2, x>=0 non mi riesce proprio di portarlo in coord. polari...
per quell'esempio che ho fatto nell'ultimo post... forse ci sono...
la circonferenza ha centro (0, 1/2), uso la trasformazione:
x = pcosA
y = 1/2 + psinA
ed ottengo che: { 0 <= p <= 1/2, 0 <= A <= pi-greco/2 }
dove A dovrebbe essere l'angolo teta... giusto?
la circonferenza ha centro (0, 1/2), uso la trasformazione:
x = pcosA
y = 1/2 + psinA
ed ottengo che: { 0 <= p <= 1/2, 0 <= A <= pi-greco/2 }
dove A dovrebbe essere l'angolo teta... giusto?
Per la trasformazione in polari della circoferenza c'è una formula standard (utilizzabile per circonferenze con centro nell'origine o traslate):
X = Xo + ro cos (theta)
Y = Yo + ro sin (theta)
con (Xo,Yo) indico le coordinate del centro
che è esattamente la trasformazione che hai operato tu.
La circonferenza presenta un alto grado di simmetria e in esercizi di questo tipo la sostituzione in polari è un passaggio che semplifica notevolmente i conti,il resto poi viene da se.
Marvin
X = Xo + ro cos (theta)
Y = Yo + ro sin (theta)
con (Xo,Yo) indico le coordinate del centro
che è esattamente la trasformazione che hai operato tu.
La circonferenza presenta un alto grado di simmetria e in esercizi di questo tipo la sostituzione in polari è un passaggio che semplifica notevolmente i conti,il resto poi viene da se.
Marvin
sisi, difatti avevo usato proprio la formula che hai postato anche tu, l'avevo trovata sulla parte di teoria del libro...
cmq sono ancora in confusione per le trasformazioni linerari, quelle in u e v...
cioè... riesco a capire la sostituzione, ma non trovo facilmente come fare a trasformare l'insieme... qualcuno me lo può spiegare... con qualche esempio? io cerco di sostituire nella x ed y per trovare le relazioni per u e v ma non mi esce mai qualcosa di utilizzabile...
cmq sono ancora in confusione per le trasformazioni linerari, quelle in u e v...
cioè... riesco a capire la sostituzione, ma non trovo facilmente come fare a trasformare l'insieme... qualcuno me lo può spiegare... con qualche esempio? io cerco di sostituire nella x ed y per trovare le relazioni per u e v ma non mi esce mai qualcosa di utilizzabile...
Purtroppo di trasformazioni non le ho mai fatte,solamente cambiamento di coordinate e rotazioni/traslazioni di insiemi.
Ma se non sbaglio una volta applicata una trasformazione non dovresti valutare anche il determinante Wronskiano per dimensionare la "dilatazione" del tuo insieme e il nuovo differenziale??
Ma se non sbaglio una volta applicata una trasformazione non dovresti valutare anche il determinante Wronskiano per dimensionare la "dilatazione" del tuo insieme e il nuovo differenziale??
si, cioè u e v si scelgono in modo che il determinante della matrice non sia complicato in modo che inserendo nell'integrale non diventi difficile calcolarlo... però la trasformazione dell'insieme da cartesiano a parametrico si fa dopo essersi accertati di questo...
nell'esempio che avevo riportato prima:
>>
Ad esempio, posto u = y - x^3 e v = y + x^3 e l'insieme in forma cartesiana è: E={ ... | x^3 =< y =< 3, x>=1} come fa a venire fuori: {0<= u <=1, u + 4 <= v <= 6 - u } ???
<<
ad esempio non riesco a capire come sia possibile ottenere {0<= u <=1, u + 4 <= v <= 6 - u }
mah!
nell'esempio che avevo riportato prima:
>>
Ad esempio, posto u = y - x^3 e v = y + x^3 e l'insieme in forma cartesiana è: E={ ... | x^3 =< y =< 3, x>=1} come fa a venire fuori: {0<= u <=1, u + 4 <= v <= 6 - u } ???
<<
ad esempio non riesco a capire come sia possibile ottenere {0<= u <=1, u + 4 <= v <= 6 - u }
mah!
No guarda u <= 1 e' certamente sbagliato:
Prendi, ad esempio, il punto (1,3) che appartiene all'insieme E. La trasformazione lo manda nella u=2!
Una procedimento molto utile quando non si vede la soluzione a occhio e' questo:
Hai u=... e v=... grandezze dipendenti da x e y e' possibile invertire queste relazioni (almeno localmente e' sempre possibile se la trasformazione non ha Jacobiano nullo anche se e' utile farlo solo se si riesce a invertire globalmente la trasformazione) e quindi sostituire banalmente nella formula dell'insieme di partenza.
Ad esempio nel caso del primo post viene (se non ho sbagliato i conti)
y = 1/2 ( u + v )
x^3 = 1/2 ( v - u )
Quindi si sostituisce banalmente...
PS: Nell'insieme E sei sicuro che non sia { ... x>=2 }??? Perche' cosi' i conti tornerebbero...
Prendi, ad esempio, il punto (1,3) che appartiene all'insieme E. La trasformazione lo manda nella u=2!
Una procedimento molto utile quando non si vede la soluzione a occhio e' questo:
Hai u=... e v=... grandezze dipendenti da x e y e' possibile invertire queste relazioni (almeno localmente e' sempre possibile se la trasformazione non ha Jacobiano nullo anche se e' utile farlo solo se si riesce a invertire globalmente la trasformazione) e quindi sostituire banalmente nella formula dell'insieme di partenza.
Ad esempio nel caso del primo post viene (se non ho sbagliato i conti)
y = 1/2 ( u + v )
x^3 = 1/2 ( v - u )
Quindi si sostituisce banalmente...
PS: Nell'insieme E sei sicuro che non sia { ... x>=2 }??? Perche' cosi' i conti tornerebbero...
mmm grazie della spiegazione david_e!!! credo di aver capito!!!
p.s. cmq forse hanno sbagliato sul libro... non so che dire... il risultato era così come l'ho riportato io... boh!
p.s. cmq forse hanno sbagliato sul libro... non so che dire... il risultato era così come l'ho riportato io... boh!
mmm mi dite se ho fatto bene?
E = { ... | 1 <= x <= y <= 6 }
ho posto:
u = x + y
v = y - x
(dato che comparivano nell'integrale)
l'insieme mi viene: { 1 <= v <= 6 && 2 + v <= u <= 12 + v }
essendo:
x = (u - v)/2
y = (v + u)/2
spero stia bene...
E = { ... | 1 <= x <= y <= 6 }
ho posto:
u = x + y
v = y - x
(dato che comparivano nell'integrale)
l'insieme mi viene: { 1 <= v <= 6 && 2 + v <= u <= 12 + v }
essendo:
x = (u - v)/2
y = (v + u)/2
spero stia bene...
spero stia bene... se no è già un esercizio che ho sbagliato... al compito... 
Mah io sono reduce da 2 mesi nei quali il calcolo piu' difficile che ho affrontato e' stato il resto al supermercato. Come se non bastasse i conti delle mie reply su questi post (fatti su fogli sparsi e alla bene meglio) sono stati spesso pieni di c... per cui prendi quello che segue con le molle. 
x >= 1 --> ( u - v ) / 2 >=1 --> u >= v + 2
x <= y --> x - y <= 0 --> v >= 0
y <= 6 --> ( v + u ) / 2 <= 6 --> u <= 12 - v
x >= 1 && y <= 6 --> max v = 6 - 1 = 5
Quindi risulterebbe:
{...| 0 <= v <= 5 && 2 + v <= u <= 12 - v }
Che e' diverso dal tuo...
x >= 1 --> ( u - v ) / 2 >=1 --> u >= v + 2
x <= y --> x - y <= 0 --> v >= 0
y <= 6 --> ( v + u ) / 2 <= 6 --> u <= 12 - v
x >= 1 && y <= 6 --> max v = 6 - 1 = 5
Quindi risulterebbe:
{...| 0 <= v <= 5 && 2 + v <= u <= 12 - v }
Che e' diverso dal tuo...
mm si infatti è diverso...
accidenti!
accidenti!
ma se scrivo 1 <= y - x <= 6 e so ceh v = y - x non posso scrivere direttamente che 1 <= v <= 6 ?
No guarda che se sottrai x nella catena di disuguaglianze:
1 <= x <= y <= 6
Devi sottrarlo da TUTTE le parti:
1 - x <= 0 <= y - x <= 6 - x
Ti consiglio comunque di non lavorare su catene di disuguaglianze, ma di spezzarle in singole disuguaglianze dove si puo' "portare a destra o a sinistra la x" cambiando il segno. Nel caso delle catene non si puo' portare a destra o a sinistra, ma soltanto aggiungere o sottrarre una stessa quantita' a tutte le disuguaglianze o moltiplicare per un numero diverso da zero (eventualmente cambiando il verso delle disequazioni)...
1 <= x <= y <= 6
Devi sottrarlo da TUTTE le parti:
1 - x <= 0 <= y - x <= 6 - x
Ti consiglio comunque di non lavorare su catene di disuguaglianze, ma di spezzarle in singole disuguaglianze dove si puo' "portare a destra o a sinistra la x" cambiando il segno. Nel caso delle catene non si puo' portare a destra o a sinistra, ma soltanto aggiungere o sottrarre una stessa quantita' a tutte le disuguaglianze o moltiplicare per un numero diverso da zero (eventualmente cambiando il verso delle disequazioni)...
già... vero!
quindi niente da fare... ho sbagliato proprio
quindi niente da fare... ho sbagliato proprio
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