Integrali

[Sk_Anonymous]

Calcolare:

$int_(-oo)^(+oo)1/(1+|x|^3)^2*dx

Data la funzione

$(x^(alpha)*lnx)/(1+x^3),alphainRR
determinare i valori per cui è sommabile in $[0,+oo[$ e per tali valori calcolarne l'integrale

[Kroldar]

"Sturmentruppen":Calcolare:

$int_(-oo)^(+oo)1/(1+|x|^3)^2*dx

La funzione integranda è pari, per cui si può scrivere

$int_(-oo)^(+oo)1/(1+|x|^3)^2 dx = 2 int_0^(+oo)1/(1+x^3)^2 dx$

Si può dimostrare (in qualche post tempo fa ho scritto pure tutti i passaggi della dimostrazione) che l'integrale a secondo membro è dato da

$int_0^(+oo)1/(1+x^3)^2 dx = -e^(-jpi/3) pi/sin(pi/3) R[e^(jpi/3)] = - (1-jsqrt(3))/2 pi 2/sqrt(3) R[e^(jpi/3)]$

Il residuo in questione (l'unico dei 3 di cui si deve tenere conto) si calcola agevolmente e risulta

$R[e^(jpi/3)] = -(1+jsqrt(3))/9$

Per cui in definitiva otteniamo

$int_0^(+oo)1/(1+x^3)^2 dx = - (1-jsqrt(3))/2 pi 2/sqrt(3) [- (1+jsqrt(3))/9] = (1-jsqrt(3)) pisqrt(3)/3 (1+jsqrt(3))/9 = 4/27 pi sqrt(3)$

Da ciò discende

$int_(-oo)^(+oo)1/(1+|x|^3)^2 dx = 2 int_0^(+oo)1/(1+x^3)^2 dx = 8/27 pi sqrt(3)$