[Integrale] Variabile di integrazione

[gaten]

Salve ragazzi, volevo sciogliere un dubbio riguardo agli integrali, ho cercando anche sui libri e online ma difficilmente riesco a trovare una definizione di "variabile di integrazione".
Precisamente nella notazione:

$int_(a)^(b) f(x) dx $

x è detta anche variabile fittizia o "muta", poichè potremmo chiamarla come vogliamo $(x, y, z, w...)$
Qualcuno potrebbe spiegarmi perchè potrei scrivere benissimamente

$int_(a)^(b) f(y) dy $

senza che cambi nulla?

Inoltre ho letto che potrebbe tipo risultare utile cambiare la variabile di integrazione, qualora volessimo "trasformare" una funzione composta, in elementare ed in quel caso cambierebbe sia la variabile di integrazioe che il differenziale.
Qualcuno potrebbe chiarire questo concetto.

Grazie anticipatamente

[gugo82]

Quello delle variabili "mute" non è un fenomeno strano, ma è ubiquo in Matematica.

Ad esempio se scrivi:
\[
\sum_{x=1}^{10} f(x)
\]
oppure:
\[
\sum_{y=1}^{10} f(y)\; ,
\]
cambia qualcosa?

Analogamente, scelto un insieme \(A\) non vuoto, se scrivi:
\[
\sup_{x\in A} f(x)
\]
oppure:
\[
\sup_{y\in A} f(y)\; ,
\]
cambia qualcosa?

Prova a riflettere su questo: che cos'hanno in comune le tre quantità \(\int_a^b f(x)\ \text{d} x\), \(\sum_{x=1}^{10} f(x)\) e \(\sup_{x\in A} f(x)\)?

Per la seconda domanda, è meglio che studi prima la teoria.