Integrale valore assouluto
Salve, ho qualche problemino con questo integrale:
$\int_(0)^(\pi/3)(1+tan^2x)/(|tanx-1|+1)dx$
1) Conviene prima sostituire $tanx$ con un'altra variabile, ad esempio $t$, in modo che posso già semplificare il numeratore in questo modo:
$ \int_(0)^(\pi/3)(1+t^2)/(|t-1|+1)*1/(1+t^2)*dt= \int_(0)^(\pi/3)(dt)/(|t-1|+1)$
2) O Conviene prima spezzare l'integrale nei due intervalli di integrazione? (Quest'ultimo passaggio non mi è per niente chiaro: nel mio caso che la funzione $tanx$ è sempre positiva nell'intervallo $[0, \pi/3]$ come faccio a considerare i due casi del valore assoluto??)
$\int_(0)^(\pi/3)(1+tan^2x)/(|tanx-1|+1)dx$
1) Conviene prima sostituire $tanx$ con un'altra variabile, ad esempio $t$, in modo che posso già semplificare il numeratore in questo modo:
$ \int_(0)^(\pi/3)(1+t^2)/(|t-1|+1)*1/(1+t^2)*dt= \int_(0)^(\pi/3)(dt)/(|t-1|+1)$
2) O Conviene prima spezzare l'integrale nei due intervalli di integrazione? (Quest'ultimo passaggio non mi è per niente chiaro: nel mio caso che la funzione $tanx$ è sempre positiva nell'intervallo $[0, \pi/3]$ come faccio a considerare i due casi del valore assoluto??)
Risposte
Prima di vedere come trattare il valore assoluto nell'integranda (che non mi pare un problema) porrei l'attenzione altrove....tu sostituisci $t=tanx$ e gli estremi di integrazione li lasci invariati?
"tommik":
tu sostituisci $t=tanx$ e gli estremi di integrazione li lasci invariati?
eggià
tanto per chiarire, devi applicare la trasformazione anche agli estremi di integrazione."Caronte":
come faccio a considerare i due casi del valore assoluto??
Guarda dove il valore assoluto si annulla, e quello è il punto (o i punti, ma qui ne abbiamo solo uno bello comodo) dove spezzare l'intervallo di integrazione. $t=1$ annulla il modulo, quindi integrerai da 0 ad 1 e da 1 al secondo estremo.
Lo sto svolgendo così:
$\int_(0)^(\pi/3)(1+tan^2x)/(|tanx-1|+1)dx$ sostituisco $tanx$ con $t$, ottenendo: $\int_(0)^(sqrt(3)/2)(1+t^2)/(|t-1|+1)*1/(1+t^2) dt= \int_(0)^(sqrt(3)/2)dt/(|t-1|+1)$
Adesso non so come sviluppare i due casi del valore assoluto...
$\int_(0)^(\pi/3)(1+tan^2x)/(|tanx-1|+1)dx$ sostituisco $tanx$ con $t$, ottenendo: $\int_(0)^(sqrt(3)/2)(1+t^2)/(|t-1|+1)*1/(1+t^2) dt= \int_(0)^(sqrt(3)/2)dt/(|t-1|+1)$
Adesso non so come sviluppare i due casi del valore assoluto...
"Caronte":
Lo sto svolgendo così:
$\int_(0)^(\pi/3)(1+tan^2x)/(|tanx-1|+1)dx$ sostituisco $tanx$ con $t$, ottenendo: $\int_(0)^(sqrt(3)/2)(1+t^2)/(|t-1|+1)*1/(1+t^2) dt= \int_(0)^(sqrt(3)/2)dt/(|t-1|+1)$
se non ti ricordi quanto fa $tan(pi/3)$ guarda sul libro...oppure usa la calcolatrice
ogni tanto rimango basìto.....
$int_(0)^(pi/3)......dx=int_(0)^sqrt(3)1/(|t-1|+1)dt=int_(0)^(1)1/(2-t)dt+int_(1)^(sqrt(3))1/tdt=$
$-log(2-t)]_(0)^(1)+logt]_(1)^(sqrt(3))=log2+logsqrt(3)$
Si hai ragione ... ho fatto un po di confusione e ho messo un $2$ in più!
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