Integrale triplo..con coordinate sferiche $RR^3$..non sono sicuro

[21zuclo]

Ciao a tutti, mi sono trovato davanti quest'integrale triplo, da fare secondo me con le coordinate sferiche. Però non so se è esatto siccome non ho la soluzione. Controllate per favore e se vi viene in mente un altro modo più veloce per calcolare l'integrale scrivetelo pure.
Se è tutto corretto, rispondete dicendo solamente che è corretto.

Calcolare $ int_ A (dxdydz)/((1+x^2+y^2+z^2)^2\sqrt(x^2+y^2+z^2)) $

ove $ A=\{(x,y,z)^T\in RR^3 | x^2+y^2+z^2\leq 2, z\geq 1\} $

allora..apparte il calcolo dell'integrale.. ho impostato gli estremi di integrazione così

sono passato in coordinate sferiche $ { ( x=\rho \sin \phi \cos \theta ),( y=\rho \sin\phi \sin\theta ),( z=\rho \cos\phi ):} $

con $\theta \in [0,2\pi]$ , $1\leq \rho \leq \sqrt(2)$

poi ho che $ { ( \rho^2\leq 2 ),( \rho cos\phi \geq 1 ):} $

siccome $\rho \in[1,sqrt(2)]$ e $\cos\phi \geq (1)/(\rho)$

allora ho ragionato che $1\leq \cos\phi \leq (1)/(\sqrt(2))$ quindi $ \phi \in [0, \pi/4] $


QUINDI RIASSUMENTO

ho che $\rho \in [1,\sqrt(2)], \theta \in [0,2\pi], \phi \in [0,\pi/4]$

poi va bé il $ det Jac = rho^2 \sin \phi $

Poi si imposta l'integrale e si calcola.. è tutto corretto però fino a qui?

[21zuclo]

"TeM":[quote="21zuclo"]Calcolare $ int_ A (dxdydz)/((1+x^2+y^2+z^2)^2\sqrt(x^2+y^2+z^2)) $

ove $ A=\{(x,y,z)^T\in RR^3 | x^2+y^2+z^2\leq 2, z\geq 1\} $

[...]

ho che $\rho \in [1,\sqrt(2)], \theta \in [0,2\pi], \phi \in [0,\pi/4]$

Purtroppo non è corretto.

Infatti si ha \(\left(\theta, \; \varphi, \; \rho\right) \in [0,\,2\pi] \times \left[0,\,\frac{\pi}{4}\right] \times \left[\frac{1}{\cos\varphi}, \, \sqrt{2}\right]\) oppure,
equivalentemente, \(\left(\theta, \; \rho, \; \varphi\right) \in [0,\,2\pi] \times \left[1,\,\sqrt{2}\right] \times \left[ 0,\,\arccos\left(\frac{1}{\rho}\right)\right]\).

Data la presenza di quella "brutta" radice a denominatore nell'integranda,
passare in coordinate sferiche mi sembra la scelta ottimale. [/quote]

direi che è molto più comodo il primo che hai scritto..

quindi si ha.. metto giù l'integrale..

$ \int_(0)^(2\pi)d\theta \int_(0)^(\pi/4)d\phi \int_((1)/(\cos \phi))^(\sqrt(2)) (\rho^2 \sin \phi)/((1+\rho^2)^2 rho) d\rho $

eh va bé poi si integra normalmente..

ma intanto grazie