Integrale triplo (volume)
salve, ho da calcolare il volume del seguente solido:
$C={(x,y,z) RR^3 | x^2+y^2<=4,x^2+y^2<=z<=10}$
bene allora io inizio con il calcolare la parte del volume superiore, compresa tra $z=4$ e $z=10$ in questo modo:
$int_(4)^(10) int_(0)^(2pi) int_(0)^(2)\rho\ d\rho\ d\theta\ dz =24pi$
ma adesso come faccio a calcolare il volume della parte inferiore (quella che va da $z=0$ a $z=4$)? il suo raggio essendo un paraboloide varia a seconda della quota $z$, questo mi confonde le idee su come impostare l'integrale, spero in un aiuto....
$C={(x,y,z) RR^3 | x^2+y^2<=4,x^2+y^2<=z<=10}$
bene allora io inizio con il calcolare la parte del volume superiore, compresa tra $z=4$ e $z=10$ in questo modo:
$int_(4)^(10) int_(0)^(2pi) int_(0)^(2)\rho\ d\rho\ d\theta\ dz =24pi$
ma adesso come faccio a calcolare il volume della parte inferiore (quella che va da $z=0$ a $z=4$)? il suo raggio essendo un paraboloide varia a seconda della quota $z$, questo mi confonde le idee su come impostare l'integrale, spero in un aiuto....
Risposte
Per risolvere l'integrale triplo dovresti esplicitarti una variabile da C e trovare le relazioni che legano le altre due alla prima. Ad esempio potresti vedere C come ${(x,y,z) in RR^3 | 0<=x<=2, 0<=y<=sqrt(4-x^2), x^2+y^2<=z<=10}$ e risolvere l'integrale triplo partendo da $dz$ e a seguire $dy$ e infine $dx$.
quanto sei sicuro di ciò che mi hai scritto? io non lo sono tantissimo, ma la tua soluzione non mi pare molto meglio, oppure sono io che non l'ho capita...
in sostanza quello che mi suggerisci tu è di risolvere il seguente integrale!?!??:
$int_(0)^(2) int_(0)^(sqrt(4-x^2)) int_(x^2+y^2)^(10)1\ dz\ dy\ dx $
perchè la $0
MOD:
pensandoci un po di più su' mi è venuto fuori questo, che secondo me si avvicina di più, ma non so se è del tutto corretto...
$int_(0)^(2pi) int_(0)^(2) int_(\rho^2)^(4)1\ dz\ d\rho\ d\theta$
in pratica la mi idea è di calcolare l'area della superficie piana definita da $\rho^2<=z<=4, 0<=\rho<=2$ (con i due integrali più interni) e poi farla ruotare di $2pi$ intorno all'asse $z$....
in sostanza quello che mi suggerisci tu è di risolvere il seguente integrale!?!??:
$int_(0)^(2) int_(0)^(sqrt(4-x^2)) int_(x^2+y^2)^(10)1\ dz\ dy\ dx $
perchè la $0
MOD:
pensandoci un po di più su' mi è venuto fuori questo, che secondo me si avvicina di più, ma non so se è del tutto corretto...
$int_(0)^(2pi) int_(0)^(2) int_(\rho^2)^(4)1\ dz\ d\rho\ d\theta$
in pratica la mi idea è di calcolare l'area della superficie piana definita da $\rho^2<=z<=4, 0<=\rho<=2$ (con i due integrali più interni) e poi farla ruotare di $2pi$ intorno all'asse $z$....
up...
sì. l'ultima idea che hai avuto è quella corretta, ma devi ricordarti che quando passi alle coordinate polari, devi moltiplicare il tuo arogomento per $\rho$.
P.S. fai modifica sul mio messaggio e guarda come si scrive $\theta$
P.S. fai modifica sul mio messaggio e guarda come si scrive $\theta$
Ok grazie mille!!! 
EDIT:
Scusa, ma ho provato come mi hai suggerito tu, forse come al solito ho capito male, o forse sbaglio i conti, ma c'è qualcosa che non mi torna...
$int_(0)^(2pi) int_(0)^(2) int_(\rho^2)^(4)\rho\ dz\ d\rho\ d\theta=int_(0)^(2pi) int_(0)^(2) 4\rho-\rho^3\ d\rho\ d\theta=int_(0)^(2pi)|2\rho-\rho^4/4|_(0)^(2)\ d\theta=int_(0)^(2pi)4-4\ d\theta=0$ ??????
EDIT:
Scusa, ma ho provato come mi hai suggerito tu, forse come al solito ho capito male, o forse sbaglio i conti, ma c'è qualcosa che non mi torna...
$int_(0)^(2pi) int_(0)^(2) int_(\rho^2)^(4)\rho\ dz\ d\rho\ d\theta=int_(0)^(2pi) int_(0)^(2) 4\rho-\rho^3\ d\rho\ d\theta=int_(0)^(2pi)|2\rho-\rho^4/4|_(0)^(2)\ d\theta=int_(0)^(2pi)4-4\ d\theta=0$ ??????
"9600xt":
$int_(0)^(2pi) int_(0)^(2) 4\rho-\rho^3\ d\rho\ d\theta=int_(0)^(2pi)|2\rho-\rho^4/4|_(0)^(2)\ d\theta=int_(0)^(2pi)4-4\ d\theta=0$
Nota che
$int_(0)^(2pi) int_(0)^(2) 4\rho-\rho^3\ d\rho\ d\theta=int_(0)^(2pi)|2\rho^2-\rho^4/4|_(0)^(2)\ d\theta$
"9600xt":
pensandoci un po di più su' mi è venuto fuori questo, che secondo me si avvicina di più, ma non so se è del tutto corretto...
$int_(0)^(2pi) int_(0)^(2) int_(\rho^2)^(4)1\ dz\ d\rho\ d\theta$
in pratica la mi idea è di calcolare l'area della superficie piana definita da $\rho^2<=z<=4, 0<=\rho<=2$ (con i due integrali più interni) e poi farla ruotare di $2pi$ intorno all'asse $z$....
Ragionamento corretto, l'avrei risolto anche io così, solo posso chiederti una cosa? Perché il primo integrale lo fai variare tra $rho^2$ e $4$?
Non sarebbe da far variare tra $rho^2$ e $10$?
hai ragione, potrei farlo tra $\rho^2$ e $10$, ma dato che inizialmente non sapevo bene come risolvere la parte in basso avevo iniziato a calcolarlo spezzato in due parti, ed una volta calcolata la parte superiore non mi rimaneva che calcolare solo quella inferiore per poi sommare i due volumi... Adesso che ho capito calcolare anche quella inferiore potrei anche fare come suggerisci tu, e calcolarlo interamente in un sol colpo.
capito, allora era giusto per comodità; anche io ragiono spesso con sottrazioni e somme di volumi, aree etc etc 
mmh mi sfugge qualcosa del vostro ragionamento ragazzi..
forse sono io un pò arrugginito, ma perchè dovete itegrare la z oltre al valore 4 ?
se fate l' intersezione tra:
$x^2 + y^2 = 4$
$z = x^2 + y^2$
cosa banale, si vede che l' intersezione è: $z = 4$, nel nostro caso $z < 4$, perchè continuata a pensare al $z < 10$ ? quel punto è fuori dalla "base" della figura..
forse sono io un pò arrugginito, ma perchè dovete itegrare la z oltre al valore 4 ?
se fate l' intersezione tra:
$x^2 + y^2 = 4$
$z = x^2 + y^2$
cosa banale, si vede che l' intersezione è: $z = 4$, nel nostro caso $z < 4$, perchè continuata a pensare al $z < 10$ ? quel punto è fuori dalla "base" della figura..
"stefano_89":
mmh mi sfugge qualcosa del vostro ragionamento ragazzi..
forse sono io un pò arrugginito, ma perchè dovete itegrare la z oltre al valore 4 ?
se fate l' intersezione tra:
$x^2 + y^2 = 4$
$z = x^2 + y^2$
cosa banale, si vede che l' intersezione è: $z = 4$, nel nostro caso $z < 4$, perchè continuata a pensare al $z < 10$ ? quel punto è fuori dalla "base" della figura..
Prova a leggere sin dal primi post, magari capisci meglio
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