Integrale triplo valore assoluto

[Sk_Anonymous]

Salve a tutti. Avrei una domanda da farvi: come devo comportarmi nel caso di un integrale con valore assoluto come questo?
$ int_-1^(1) int_-sqrt(1-x^2)^(sqrt(1-x^2) ) int_(-sqrt(1-x^2) )^(sqrt(1-x^2) ) (|xyz|) dz dy dx $
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+%7Cxyz%7C+dzdydx,+z+from+-sqrt(1-x%5E2)+to+sqrt(1-x%5E2),+y+from+-sqrt(1-x%5E2)+to+sqrt(1-x%5E2),+x+from+-1+to+1

Grazie a tutti

[donald_zeka]

La funzione integranda $abs(xyz)$ assume lo stesso valore negli 8 pezzi di piano in cui i tre assi cartesiani dividono lo spazio e inoltre il dominio di integrazione è simmetrico per ogni asse, quindi basta considerare solo il pezzo di piano $x>0,y>0,z>0$ e moltiplicare il tutto per $8$, facendo andare via il valore assoluto

[Sk_Anonymous]

"Vulplasir":La funzione integranda $abs(xyz)$ assume lo stesso valore negli 8 pezzi di piano in cui i tre assi cartesiani dividono lo spazio e inoltre il dominio di integrazione è simmetrico per ogni asse, quindi basta considerare solo il pezzo di piano $x>0,y>0,z>0$ e moltiplicare il tutto per $8$, facendo andare via il valore assoluto

Scusami ma non ho mica capito il ragionamento. perhè devo moltiplicare per 8?
Io pensavo di dover dividere gli estremi degli integrali usandola linearità. Non si può fare così?

[donald_zeka]

Se si pone $x,y,z>0$ allora il valore assoluto va via e l'integrale diventa: $int_(0)^(1)int_(0)^(sqrt(1-x^2))int_(0)^(sqrt(1-x^2))(xyz)dzdydx$ e questo integrale è facile da svolgere, ma non corrisponde al valore dell'integrale originale, infatti nell'integrale originale gli x,y,z possono essere sia positivi che negativi, mentre qui si è scelto solo il caso in cui sono tutti e tre positivi, notando però che, comunque si scelgano x,y,z positivo o negativi, l'integrale da svolgere è lo stesso di sopra (si verifica facilmente) allora per trovare l'integrale originario basta moltiplicare per 8 il risultato dell'integrale di sopra, 8 perché in 2*2*2=8 modi si possono scegliere x,y,z positivo o negativi.
Comunque va bene anche quello di dividere gli estremi degli integrali, che è uguale a quello che ho fatto io, ma se non ti accorgi che dividendo gli estremi l'integrale da svolgere è sempre lo stesso (cioè quello nel caso x,y,z>0, allora rischieresti di fare 8 integrali...quando ne basta fare uno e moltiplicare per 8)

[Sk_Anonymous]

"Vulplasir":Se si pone $x,y,z>0$ allora il valore assoluto va via e l'integrale diventa: $int_(0)^(1)int_(0)^(sqrt(1-x^2))int_(0)^(sqrt(1-x^2))(xyz)dzdydx$ e questo integrale è facile da svolgere, ma non corrisponde al valore dell'integrale originale, infatti nell'integrale originale gli x,y,z possono essere sia positivi che negativi, mentre qui si è scelto solo il caso in cui sono tutti e tre positivi, notando però che, comunque si scelgano x,y,z positivo o negativi, l'integrale da svolgere è lo stesso di sopra (si verifica facilmente) allora per trovare l'integrale originario basta moltiplicare per 8 il risultato dell'integrale di sopra, 8 perché in 2*2*2=8 modi si possono scegliere x,y,z positivo o negativi.
Comunque va bene anche quello di dividere gli estremi degli integrali, che è uguale a quello che ho fatto io, ma se non ti accorgi che dividendo gli estremi l'integrale da svolgere è sempre lo stesso (cioè quello nel caso x,y,z>0, allora rischieresti di fare 8 integrali...quando ne basta fare uno e moltiplicare per 8)

Ok perfetto, non avevo capito il ragionamento. Si ha molto più senso fare come dici piuttosto che fare 8 integrali ahah. Grazie mille