Integrale triplo su un tronco di cono.
Salve signori, vi posto l'integrale triplo propostomi all'ultimo scritto di analisi II e che purtroppo mi ha visto nell'incapacità totale di affrontarlo 
Spero possiate darmi una mano.
L'esercizio è il seguente:
Calcolare il seguente integrale triplo:
$ int int int_(D)^() (x+y+z^2)dx dy dz $
dove D è il tronco di cono di basi i cerchi:
$ {(x,y,z)in R^3 : z=0, x^2+y^2<=4} $
e
$ {(x,y,z)in R^3 : z=2, x^2+y^2<=1} $
Vi scrivo un po' come ho pensato di fare.
Ho parametrizzato la superficie del cono ottenendo il dominio normale rispetto al piano xy:
$ D={(x,y,z)epsilon R^3 : 0<=z<=-2(x^2+y^2)^(1/2)+4, 1<=x^2+y^4<=4} $
Ho pensato poi di esprimere tale dominio in coordinate cilindriche e usarle per fare l'integrale, che non sono comunque riuscito a portare a termine.
Al di là del problema con questo integrale mi chiedo se sia corretto terminare l'esercizio qui o debba anche calcolare l'integrale sul cilindro "interno" al cono e poi aggiungerlo al risultato trovato per poter dire di aver risposto alla domanda.
Vi ringrazio dell'attenzione. Buona giornata!
Spero possiate darmi una mano.
L'esercizio è il seguente:
Calcolare il seguente integrale triplo:
$ int int int_(D)^() (x+y+z^2)dx dy dz $
dove D è il tronco di cono di basi i cerchi:
$ {(x,y,z)in R^3 : z=0, x^2+y^2<=4} $
e
$ {(x,y,z)in R^3 : z=2, x^2+y^2<=1} $
Vi scrivo un po' come ho pensato di fare.
Ho parametrizzato la superficie del cono ottenendo il dominio normale rispetto al piano xy:
$ D={(x,y,z)epsilon R^3 : 0<=z<=-2(x^2+y^2)^(1/2)+4, 1<=x^2+y^4<=4} $
Ho pensato poi di esprimere tale dominio in coordinate cilindriche e usarle per fare l'integrale, che non sono comunque riuscito a portare a termine.
Al di là del problema con questo integrale mi chiedo se sia corretto terminare l'esercizio qui o debba anche calcolare l'integrale sul cilindro "interno" al cono e poi aggiungerlo al risultato trovato per poter dire di aver risposto alla domanda.
Vi ringrazio dell'attenzione. Buona giornata!
Risposte
"BatuffoloDiMer":
Vi scrivo un po' come ho pensato di fare.
Ho parametrizzato la superficie del cono ottenendo il dominio normale rispetto al piano xy:
$ D={(x,y,z)epsilon R^3 : 0<=z<=-2(x^2+y^2)^(1/2)+4, 1<=x^2+y^4<=4} $
Immagino sia solo un errore di distrazione
sarebbe $1\leq x^2+y^2\leq 4$."BatuffoloDiMer":
Al di là del problema con questo integrale mi chiedo se sia corretto terminare l'esercizio qui o debba anche calcolare l'integrale sul cilindro "interno" al cono e poi aggiungerlo al risultato trovato per poter dire di aver risposto alla domanda.
Eh sì! Devi aggiungerlo.
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