Integrale triplo su un cubo
Salve a tutti, non riesco a risolvere il seguente integrale triplo:
\[\int \int \int \frac{dxdydz}{(1+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}} \hspace{1cm} D = [x \in (0,1), y \in (0,1), z \in (0,1)]\]
Ho provato a risolvere per sezioni e per fili, parametrizzare con le coordinate sferiche, e risolvere separatamente i 3 integrali, ma non riesco ad arrivare alla soluzione. Come potrei procedere?
\[\int \int \int \frac{dxdydz}{(1+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}} \hspace{1cm} D = [x \in (0,1), y \in (0,1), z \in (0,1)]\]
Ho provato a risolvere per sezioni e per fili, parametrizzare con le coordinate sferiche, e risolvere separatamente i 3 integrali, ma non riesco ad arrivare alla soluzione. Come potrei procedere?
Risposte
Ho aggiustato la formula, mancavano i dollari.
Grazie mille!
Ciao sixpain,
Si fa, ma non è proprio banale. Si parte dalla considerazione che $\AA a > 0 $ si ha:
$1/a^2 = \int_0^{+\infty} t e^{- at} dt $
Nel caso in esame $ a := 1 + x^2 + y^2 + z^2 > 0 $, per cui si ha:
$ 1/(1 + x^2 + y^2 + z^2)^2 = \int_0^{+\infty} t e^{- (1 + x^2 + y^2 + z^2)t} dt $
Integrando su $D$ ed applicando il teorema di Fubini si ha:
$\int\int\int_D (dx dy dz)/(1 + x^2 + y^2 + z^2)^2 = \int_0^{+\infty} t e^{- t}\int\int\int_D e^{- (x^2 + y^2 + z^2)t} dx dy dz dt = $
$ = \int_0^{+\infty} t e^{- t} (\int_0^1 e^{- tu^2} du)^3 dt = \int_0^{+\infty} t e^{- t} (\frac{\sqrt{\pi} erf(\sqrt{t})} {2\sqrt{t}})^3 dt \overset{t \rightarrow t^2}{=} $
$ = \frac{\pi \sqrt{\pi}}{4} \int_0^{+\infty} e^{-t^2} erf^3(t) dt = \frac{\pi \sqrt{\pi}}{4} [\frac{\sqrt{\pi}}{8} erf^4(t)]_0^{+\infty} = \pi^2/32 $
ove $erf(t) := 2/(\sqrt{\pi})\int_0^t e^{-u^2} du $, $ erf(0) = 0 $ e $\erf(+\infty) = 1 $
Si fa, ma non è proprio banale. Si parte dalla considerazione che $\AA a > 0 $ si ha:
$1/a^2 = \int_0^{+\infty} t e^{- at} dt $
Nel caso in esame $ a := 1 + x^2 + y^2 + z^2 > 0 $, per cui si ha:
$ 1/(1 + x^2 + y^2 + z^2)^2 = \int_0^{+\infty} t e^{- (1 + x^2 + y^2 + z^2)t} dt $
Integrando su $D$ ed applicando il teorema di Fubini si ha:
$\int\int\int_D (dx dy dz)/(1 + x^2 + y^2 + z^2)^2 = \int_0^{+\infty} t e^{- t}\int\int\int_D e^{- (x^2 + y^2 + z^2)t} dx dy dz dt = $
$ = \int_0^{+\infty} t e^{- t} (\int_0^1 e^{- tu^2} du)^3 dt = \int_0^{+\infty} t e^{- t} (\frac{\sqrt{\pi} erf(\sqrt{t})} {2\sqrt{t}})^3 dt \overset{t \rightarrow t^2}{=} $
$ = \frac{\pi \sqrt{\pi}}{4} \int_0^{+\infty} e^{-t^2} erf^3(t) dt = \frac{\pi \sqrt{\pi}}{4} [\frac{\sqrt{\pi}}{8} erf^4(t)]_0^{+\infty} = \pi^2/32 $
ove $erf(t) := 2/(\sqrt{\pi})\int_0^t e^{-u^2} du $, $ erf(0) = 0 $ e $\erf(+\infty) = 1 $
[xdom="Raptorista"]@pilloeffe Vorrei richiamare alla tua attenzione una certa questione:
La filosofia di questo forum prevede che un utente che pone una domanda venga aiutato ad arrivare alla risposta, non che gli venga fornita la pappa pronta. Diversi interventi, tra cui ad esempio il tuo in questa discussione, sono contrari a questo spirito e vanno evitati. Ancor peggio è quando tali messaggi sono successivi a quelli di altri utenti che, correttamente, cercano di fornire suggerimenti, ma non la soluzione.[/xdom]
[size=150]Matematicamente.it non è un servizio di soluzione di esercizi.[/size]
La filosofia di questo forum prevede che un utente che pone una domanda venga aiutato ad arrivare alla risposta, non che gli venga fornita la pappa pronta. Diversi interventi, tra cui ad esempio il tuo in questa discussione, sono contrari a questo spirito e vanno evitati. Ancor peggio è quando tali messaggi sono successivi a quelli di altri utenti che, correttamente, cercano di fornire suggerimenti, ma non la soluzione.[/xdom]
"pilloeffe":
Ciao sixpain,
Si fa, ma non è proprio banale. Si parte dalla considerazione che $\AA a > 0 $ si ha:
$1/a^2 = \int_0^{+\infty} t e^{- at} dt $
Nel caso in esame $ a := 1 + x^2 + y^2 + z^2 > 0 $, per cui si ha:
$ 1/(1 + x^2 + y^2 + z^2)^2 = \int_0^{+\infty} t e^{- (1 + x^2 + y^2 + z^2)t} dt $
Integrando su $D$ ed applicando il teorema di Fubini si ha:
$\int\int\int_D (dx dy dz)/(1 + x^2 + y^2 + z^2)^2 = \int_0^{+\infty} t e^{- t}\int\int\int_D e^{- (x^2 + y^2 + z^2)t} dx dy dz dt = $
$ = \int_0^{+\infty} t e^{- t} (\int_0^1 e^{- tu^2} du)^3 dt = \int_0^{+\infty} t e^{- t} (\frac{\sqrt{\pi} erf(\sqrt{t})} {2\sqrt{t}})^3 dt \overset{t \rightarrow t^2}{=} $
$ = \frac{\pi \sqrt{\pi}}{4} \int_0^{+\infty} e^{-t^2} erf^3(t) dt = \frac{\pi \sqrt{\pi}}{4} [\frac{\sqrt{\pi}}{8} erf^4(t)]_0^{+\infty} = \pi^2/32 $
ove $erf(t) := 2/(\sqrt{\pi})\int_0^t e^{-u^2} du $, $ erf(0) = 0 $ e $\erf(+\infty) = 1 $
Grazie per l'aiuto. Tuttavia nel nostro corso di analisi 2 non abbiamo ancora affrontato integrali impropri, approssimazione con erf(t), ed il teorema di fubini.
Ciò che possiamo applicare per la risoluzione sono principalmente cambi di variabile, integrazione per fili o per sezioni.
Il mio approccio iniziale era basato sulle coordinate sferiche. Tuttavia dopo aver risolto il primo integrale in $dp$ non riesco a proseguire, molto probabilmente perché sbaglio a calcolare gli estremi del dominio dopo il cambiamento di coordinate.
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