Integrale triplo in coordinate sferiche o cilindriche

[mazzy89-votailprof]

avrei quest'integrale triplo da risolvere $int int int_(T) (ysqrt(z))/(x^2+y^2)$ essendo $T={(x,y,z)in RR^3 : x^2+y^2+z^2<=1, z>=x^2+y^2}$.il mio dubbio sta se risolverlo per coordinate sferiche oppure usare quelle cilindriche.
con le sferiche ottengo: $int int int_(T^*)rhosin(theta)sqrt(rhocos(theta))d\rhod\thetad\phi$

essendo $T^(*)={(rho,theta,phi), 0<=rho<=1, cos\phi>=rhosin^2(phi)}$

dove risolvendo
$cos\phi>=rhosin^2(phi)$
$cos\phi>=rho(1-cos^2(phi))$
$cos\phi>=rho-rhocos^2(phi)$
pongo $cos(phi)=u$
$rhou^2-u-rho>=0$
risolvendo questa disequazione di secondo grado nella variabile $u$

otttengo
$cos(phi)<=(-1-sqrt(1+4rho^2))/(2rho) , cos(phi)>=(-1+sqrt(1+4rho^2))/(2rho) $

a questo punto mi blocco e non so più andare avanti.non so neanche se sia la strada esatta. non mi convince il dominio

[Zkeggia]

Il dominio suggerisce sia l'uno che l'altro, ma la funzione non lascia dubbi, è meglio usare le coordinate cilindriche!

[mazzy89-votailprof]

"Zkeggia":Il dominio suggerisce sia l'uno che l'altro, ma la funzione non lascia dubbi, è meglio usare le coordinate cilindriche!

a bene allora vediamo cosa ottengo con le coordinate cilindriche e posto il risultato

[mazzy89-votailprof]

dunque sfruttando le coordinate cilindriche ottengo:

$int int int_(T) sin(theta)sqrt(z)d\rhod\thetadz$

dove $T={(rho,theta,z) : |rho|<=sqrt(1-z^2),|rho|<=sqrtz}$

adesso ottenute queste due diseguaglianze le devo mettere a sistema, esatto?

[edit]

$z in [0,1]$, $theta in [0,2pi]$ mi manca ancora da trovare dov'è definito $rho$. Se non sbaglio $rho$ è definito in $[0,1]$

[Zkeggia]

Sì tutto giusto, dovrai spezzare il dominio in due pezzi, ovvero mettere a sistema le disuguaglianze. Bravo. Vediamo i conti!

[mazzy89-votailprof]

"Zkeggia":Sì tutto giusto, dovrai spezzare il dominio in due pezzi, ovvero mettere a sistema le disuguaglianze. Bravo. Vediamo i conti!

mettendo a sistema le due diseguaglianze ottengo:

${(0<=rho<=sqrt(1-z^2)),(0<=rho<=sqrtz):}$

ottenendo così che $z in (0,1)$ e $rho in[0,1]$

[Zkeggia]

Ok ma tu devi fare il seguente passaggio. sai che $rho <=sqrt(1-z^2)$ insieme a $rho <= sqrt(z)$

devi prendere il $min(sqrt(1-z^2),sqrt(z)), z in (0,1)$

ovvero
$(sqrt(1-z^2)< sqrt(z)$
che è vera se
$0
a questo punto devi spezzare l'integrale in
$ int_0^(2pi) d(theta)int_0 ^ ((-1+sqrt(5))/2) dz int_0^(sqrt(1-z^2))sintheta sqrt(z) drho + int_0^(2pi) d(theta) int_(-1+sqrt(5)/2) ^ 1 dz int_(sqrt(1-z^2))^z sintheta sqrt(z) drho $ (Edit: Sbagliati gli estremi di integrazione di $rho$ correzione pagina successiva!)

in pratica quando tu hai una condizione del tipo
$y <= f(z)$
a sistema con
$y < g(z)$
devi capire quali sono gli estremi di integrazione di y in relazione a z.


È vero che in questo caso $rho$ va tra 0 e 1, però tu gli estremi 0 e 1 li hai legati a z, quindi devi scrivere tutto in funzione di z. Ma se $rho$ deve essere contemporaneamente minore di $sqrt(z)$ e di $sqrt(1-z^2)$ non devi far altro che vedere quando si ha $sqrt(z)<=sqrt(1-z^2)$ in $(0,1)$

A questo punto otterrai che tra 0 e $(-1+sqrt(5))/2$ si ha che $rho$ va da 0 a $sqrt(z)$, mentre tra $(-1+sqrt(5))/2$ e $1$ si ha $rho$ che varia tra $sqrt(z)$ e $sqrt(1-z^2)$.

Ti torna?

[Edit: Correzione estremi di integrazione alla pagina successiva]

[mazzy89-votailprof]

"Zkeggia":Ok ma tu devi fare il seguente passaggio. sai che $rho <=sqrt(1-z^2)$ insieme a $rho <= sqrt(z)$

devi prendere il $min(sqrt(1-z^2),sqrt(z)$ in (0,1)

ovvero
$(sqrt(1-z^2)< sqrt(z)$
che è vera se
$0
a questo punto devi spezzare l'integrale in
$ int_0^(2pi) d(theta)int_0 ^ ((1+sqrt(5))/2) dz int_0^(sqrt(1-z^2))sintheta sqrt(z) drho + int_0^(2pi) d(theta) int_(1+sqrt(5)/2) ^ 1 dz int_(sqrt(1-z^2))^z sintheta sqrt(z) drho $

purtroppo Zkeggia la secondo parte dell'integrale non mi è chiara ,ovvero tutto ciò che viene dopo la somma.

[Zkeggia]

Ho modificato mentre scrivevi, ora ti è più chiaro? cosa non ti torna di preciso?

[mazzy89-votailprof]

"Zkeggia":Ho modificato mentre scrivevi, ora ti è più chiaro? cosa non ti torna di preciso?

non mi torna perchè nei due integrali finali come estremi di integrazione superiori ci siano $1$ e $z$

[Zkeggia]

Allora, fissato z tra 0 e 1 abbiamo che
tra
0 e $(-1+sqrt(5))/2$ (da ora $(-1+sqrt(5))/2$ lo chiamo $a$ perché è rognoso da scrivere)
si ha che

$z<=1-z^2$
Fin qui tutto ok?

[mazzy89-votailprof]

"Zkeggia":Allora, fissato z tra 0 e 1 abbiamo che
tra
0 e $(-1+sqrt(5))/2$ (da ora $(-1+sqrt(5))/2$ lo chiamo $a$ perché è rognoso da scrivere)
si ha che

$z<=1-z^2$
Fin qui tutto ok?

si chiaro.

[edit:]

forse volevi scrivere: $z>=1-z^2$ ?

[Zkeggia]

Sì giusto ho sbagliato, è come dici tu.

A questo punto hai che in generale puoi spezzare $int_0^1 f(x)dx = int_0^a f(x)dx + int_a^1 f(x)dx$

E' una proprietà nota.

Allora spezziamo gli estremi di integrazione della $z$ tra 0 e a e tra a e 1.

Notiamo che tra 0 e a abbiamo che $rho$ deve andare tra $0$ e $sqrt(1-z^2)$.

In termine di integrali è il primo addendo della somma.

Invece tra a e 1 si ha che $rho$ deve andare tra $sqrt(1-z^2)$ e $sqrt(z)$. Abbiamo il secondo addendo della somma. (Edit, in realtà si ha che $rho$ deve andare tra $0$ e $sqrt(z)$, vedi sotto!

[mazzy89-votailprof]

"Zkeggia":A questo punto hai che in generale puoi spezzare $int_0^1 f(x)dx = int_0^a f(x)dx + int_a^1 f(x)dx$

E' una proprietà nota.

Allora spezziamo gli estremi di integrazione della $z$ tra 0 e a e tra a e 1.

Notiamo che tra 0 e a abbiamo che $rho$ deve andare tra $0$ e $sqrtz$.

In termine di integrali è il primo addendo della somma.

Invece tra a e 1 si ha che $rho$ deve andare tra la radice di z e a. Abbiamo il secondo addendo della somma.

ah ok ho capito perché in questo modo è stato spezzato ma perdonami Zkeggia se sono uno zuccone ma continuo a non capire perchè hai scritto: $int_(sqrt(1-z^2))^zsin\thetasqrtzd\rho$ al secondo addendo

[Zkeggia]

Prima cosa: l'integrala va da $sqrt(1-z^2)$ a $sqrt(z)$, mi è scappata una radice, ora correggo.

Perché tu devi considerare che z nel secondo addendo si muove tra il valore per cui $sqrt(1-z^2) = sqrt(z)$ e 1.
A questo punto $rho$ deve rispettare la condizione $rho < sqrt(z)$.

Ma da dove parte $rho$? parte da quando $z = a$.
A questo punto hai

$0< rho < sqrt(1-z^2)$ per $0 $sqrt(1-z^2)

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[mazzy89-votailprof]

"Zkeggia":Prima cosa: l'integrala va da $sqrt(1-z^2)$ a $sqrt(z)$, mi è scappata una radice, ora correggo.

Perché tu devi considerare che z nel secondo addendo si muove tra il valore per cui $sqrt(1-z^2) = sqrt(z)$ e 1.
A questo punto $rho$ deve rispettare la condizione $rho < sqrt(z)$.

Ma da dove parte $rho$? parte da quando $z = a$.
A questo punto hai

$0< rho < sqrt(1-z^2)$ per $0 $sqrt(1-z^2)

ah ok perfettissiiiimmoooooooooooo io no capivo quella $z$ da dove la prendevi.invece era stato semplicemente un errore.grande Zkeggia.sei stato fantastico.ti ringrazio per la paziensa dimostratami.sei stato gentilissimo

[Zkeggia]

Aspetta mi sono accorto di una cavolata grave, fermo.
Ti ho detto che $rho$ deve andare tra $sqrt(1-z^2)$ e $sqrt(z)$, ma mi sbagliavo.

Ora mi spiego bene.
noi abbiamo che $rho$ deve andare tra $0$ e il $min(sqrt(z),sqrt(1-z^2))$
a questo punto, quando si ha la condizione
$sqrt(z) > sqrt(1-z^2)$
avremo $rho$ che va da
$0<=rho<=sqrt(1-z^2)$

Invece quando si ha l'altra condizione, cioè tra $a$ e $1$, rho deve andre tra
$0<=rho<= sqrt(z)$!!!!!!!!!

Io avevo erroneamente creduto che $rho$ fosse legato a $z$ anche inferiormente, ma in realtà non è così.
$rho$ è legato a $z$ solo superiormente!

Correzione! L'integrale giusto è

$int_0^(2pi) d(theta)int_0 ^ ((-1+sqrt(5))/2) dz int_0^(sqrt(1-z^2))sintheta sqrt(z) drho + int_0^(2pi) d(theta) int_(-1+sqrt(5)/2) ^ 1 dz int_0^sqrt(z) sintheta sqrt(z) drho$

Che erroraccio che avevo fatto, avevo toppato un estremo di integrazione!!

[mazzy89-votailprof]

"Zkeggia":Aspetta mi sono accorto di una cavolata grave, fermo.
Ti ho detto che $rho$ deve andare tra $sqrt(1-z^2)$ e $sqrt(z)$, ma mi sbagliavo.

Ora mi spiego bene.
noi abbiamo che $rho$ deve andare tra $0$ e il $min(sqrt(z),sqrt(1-z^2))$
a questo punto, quando si ha la condizione
$sqrt(z) > sqrt(1-z^2)$
avremo $rho$ che va da
$0<=rho<=sqrt(1-z^2)$

Invece quando si ha l'altra condizione, cioè tra $a$ e $1$, rho deve andre tra
$0<=rho<= sqrt(z)$!!!!!!!!!

Io avevo erroneamente creduto che $rho$ fosse legato a $z$ anche inferiormente, ma in realtà non è così.
$rho$ è legato a $z$ solo superiormente!

Correzione! L'integrale giusto è

$int_0^(2pi) d(theta)int_0 ^ ((-1+sqrt(5))/2) dz int_0^(sqrt(1-z^2))sintheta sqrt(z) drho + int_0^(2pi) d(theta) int_(-1+sqrt(5)/2) ^ 1 dz int_0^sqrt(z) sintheta sqrt(z) drho$

Che erroraccio che avevo fatto, avevo toppato un estremo di integrazione!!

ah ok allora gli ultimi due integrali dei rispettivi addendi sono rispettivamente le diseguaglianze che ci ritroviamo.dai non ti preoccupare può succedere a tutti sbagliare.ora è tutto chiaro.

[Zkeggia]

Esatto sono le diseguaglianze. Meno male sono riuscito a vedere l'errore in tempo altrimenti ti avrei fatto sbagliare pure l'esercizio! Buona giornata!

[mazzy89-votailprof]

ritorno e propongo un'altro esercizio in cui non so bene se usare le coordinate sferiche o cilindriche o addirittura se procedere con queste od invece cambiare cambiare completamente direzione.

l'integrale in proposito è il seguente:

$intintint_D |z-1/2|(x-1)dxdydz$ dove $D={(x,y,z): x^2+y^2+z^2<=1,x^2+y^2+z^2<=2z}$

il dominio si vede molto chiaramente che è composto da una sfera di raggio $1$ e centro l'orgine ed un'altra di raggio sempre $1$ ma di centro il punto $(0,0,1)$.quindi il dominio mi suggerirebbe di utilizzare le coordinate sferiche ma l'integrale invece proprio no dato che non mi porterebbero a nulla.suggerimenti?

[Edit]

Dilemma risolto.mi ci sono messo un pò su è la soluzione l'ho trovata.C'era da fare lo stesso ragionamento che è stato condotto per la risoluzione dell'esercizio precedente