Integrale triplo, coordinate cilindriche
Buonasera a tutti,
ho un problema con l'intgrale triplo e vi posto qua il testo dell'esercizio il risultato e il mio procedimento.
Vorrei chiedervi se qualche anima pia potrebbe controllare e suggerirmi come fare, cosa sbaglio.
TESTO:
Sia \(\displaystyle V=\{(x,y,z) \in R^3 : x^2 + y^2 \leq 3 , |z|\leq 1\} \)
Sia \(\displaystyle J={\int\int\int _V} (5x^3 z^2 + y^3 cos(5z) +5) dx dy dz\)
Allora \(\displaystyle \frac{J}{\pi} = \)
RISULTATO: \(\displaystyle 30 \)
A me viene invece \(\displaystyle 60 \)
PROCEDIMENTO:
Passo alle coordinate polari e al nuovo dominio:
\(\displaystyle
\{ x = rcos\theta, y=rsin\theta, z=z
\)
con \(\displaystyle V= \{(x,y,z) \in R^3 : 0 \leq \theta \leq 2\pi, 0 \leq r \leq \sqrt{3}, -1\leq z \leq +1\} \)
e l'integrale lo riduco quindi a:
\(\displaystyle \int_{-1}^{1} dz \int _{-\pi}^{\pi} d \theta \int_{0}^{\sqrt{3}} \sqrt{3}(5r^3cos^3(\theta) + r^3sin^3(\theta) + 5)dr \)
\(\displaystyle \sqrt{3} \int_{-1}^{1} dz \int _{-\pi}^{\pi} d \theta [\frac{5r^4}{4}cos^3(\theta) + \frac{r^4}{4}sin^3(\theta) + 5r]_{0}^{\sqrt{3}} \)
\(\displaystyle \sqrt{3} \int_{-1}^{1} dz \int _{-\pi}^{\pi} \frac{5*9}{4}cos^3\theta + \frac{9}{4}sin^3\theta + 5\sqrt{3} d\theta\)
Il pezzo con il seno alla terza lo trascuro perchè è una funzione dispari e sto integrando in un intervallo simmetrico rispetto 0.
\(\displaystyle \sqrt{3} \int_{-1}^{1} dz [ \frac{45}{16}sen^4\theta + 5\sqrt{3}\theta]_{-\pi}^{\pi} \)
\(\displaystyle \int_{-1}^{1} 10\sqrt{3}\sqrt{3}\pi dz \)
\(\displaystyle \int_{-1}^{1} 30\pi dz \)
\(\displaystyle 30\pi + 30\pi = 60\pi = J\)
\(\displaystyle \frac{J}{\pi}=60 \)
Ma dovrebbe essere 30..
ho un problema con l'intgrale triplo e vi posto qua il testo dell'esercizio il risultato e il mio procedimento.
Vorrei chiedervi se qualche anima pia potrebbe controllare e suggerirmi come fare, cosa sbaglio.
TESTO:
Sia \(\displaystyle V=\{(x,y,z) \in R^3 : x^2 + y^2 \leq 3 , |z|\leq 1\} \)
Sia \(\displaystyle J={\int\int\int _V} (5x^3 z^2 + y^3 cos(5z) +5) dx dy dz\)
Allora \(\displaystyle \frac{J}{\pi} = \)
RISULTATO: \(\displaystyle 30 \)
A me viene invece \(\displaystyle 60 \)
PROCEDIMENTO:
Passo alle coordinate polari e al nuovo dominio:
\(\displaystyle
\{ x = rcos\theta, y=rsin\theta, z=z
\)
con \(\displaystyle V= \{(x,y,z) \in R^3 : 0 \leq \theta \leq 2\pi, 0 \leq r \leq \sqrt{3}, -1\leq z \leq +1\} \)
e l'integrale lo riduco quindi a:
\(\displaystyle \int_{-1}^{1} dz \int _{-\pi}^{\pi} d \theta \int_{0}^{\sqrt{3}} \sqrt{3}(5r^3cos^3(\theta) + r^3sin^3(\theta) + 5)dr \)
\(\displaystyle \sqrt{3} \int_{-1}^{1} dz \int _{-\pi}^{\pi} d \theta [\frac{5r^4}{4}cos^3(\theta) + \frac{r^4}{4}sin^3(\theta) + 5r]_{0}^{\sqrt{3}} \)
\(\displaystyle \sqrt{3} \int_{-1}^{1} dz \int _{-\pi}^{\pi} \frac{5*9}{4}cos^3\theta + \frac{9}{4}sin^3\theta + 5\sqrt{3} d\theta\)
Il pezzo con il seno alla terza lo trascuro perchè è una funzione dispari e sto integrando in un intervallo simmetrico rispetto 0.
\(\displaystyle \sqrt{3} \int_{-1}^{1} dz [ \frac{45}{16}sen^4\theta + 5\sqrt{3}\theta]_{-\pi}^{\pi} \)
\(\displaystyle \int_{-1}^{1} 10\sqrt{3}\sqrt{3}\pi dz \)
\(\displaystyle \int_{-1}^{1} 30\pi dz \)
\(\displaystyle 30\pi + 30\pi = 60\pi = J\)
\(\displaystyle \frac{J}{\pi}=60 \)
Ma dovrebbe essere 30..
Risposte
"lindavit":
\(\displaystyle J={\int\int\int _V} (5x^3 z^2 + y^3 cos(5z) +5) dx dy dz\)
\(\displaystyle \int_{-1}^{1} dz \int _{-\pi}^{\pi} d \theta \int_{0}^{\sqrt{3}} \sqrt{3}(5r^3cos^3(\theta) + r^3sin^3(\theta) + 5)dr \)
Ma... ci spieghi per favore come hai fatto a ri-scrivere l'integrale così ?
Le $z$ che fine hanno fatto ?
oooooooooooooooooooooooops!
Ho sbagliato a scrivere il procedimento cercando di usare latex.
Sono riuscito a risolverlo, alla fine, il problema è che io tiravo fuori la radice di 3, invece doveva rimanere dentro e non dovera essere radice di 3 ma r. E quindi cambiava tutto. Scusate per lsa sbadataggine
Ho sbagliato a scrivere il procedimento cercando di usare latex.
Sono riuscito a risolverlo, alla fine, il problema è che io tiravo fuori la radice di 3, invece doveva rimanere dentro e non dovera essere radice di 3 ma r. E quindi cambiava tutto. Scusate per lsa sbadataggine
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