Integrale triplo con coordinate sferiche e parametro
Salve a tutti,
devo risolvere questo integrale
$ int_(X^2+Y^2+Z^2
Ho pensato di risolverlo tramite un passaggio in coordinate sferiche, ma non so come procedere ed ho abbozzato qualcosa (la trasformazione)
$ int_(0) ^sqrt(t)rho^2e^(-rho^2/2)drho $ se anche ciò fosse giusto (ma ne dubito, credo che ci sia un errore nello jacobiano)
poi non riesco a procedere con la soluzione del nuovo integrale
sapreste darmi una mano per favore?
devo risolvere questo integrale
$ int_(X^2+Y^2+Z^2
Ho pensato di risolverlo tramite un passaggio in coordinate sferiche, ma non so come procedere ed ho abbozzato qualcosa (la trasformazione)
$ int_(0) ^sqrt(t)rho^2e^(-rho^2/2)drho $ se anche ciò fosse giusto (ma ne dubito, credo che ci sia un errore nello jacobiano)
poi non riesco a procedere con la soluzione del nuovo integrale
sapreste darmi una mano per favore?
Risposte
Il passaggio in coordinate sferiche mi sembra azzeccato, però il determinante dello jacobiano è sbagliato.
Abbiamo:
\begin{equation}
\begin{cases}
x= \rho \sin(\phi) \cos(\theta) \\ y= \rho \sin(\phi) \sin(\theta) \\ z= \rho \cos(\theta)
\end{cases}
\end{equation}
Da cui:
$$
det(J)=
\begin{vmatrix}
\sin \phi \cos \theta & \rho \cos \phi \cos \theta & - \rho \sin \phi \sin \theta \\
\sin \phi \sin \theta & \rho \cos \phi \sin \theta & \rho \sin \phi \cos \theta \\
\cos \phi & - \rho \sin \phi & 0
\end{vmatrix} = \rho^2 \sin \phi
$$
L'integrale diventa dunque:
$
\int_{0}^{2\pi}( \int_{0}^{pi} (\int_{0}^{\sqrt{t}} (\rho^2 \sin(\phi) e^{-\rho^2/2} d\rho) d\phi) d\theta)
$
però quella roba lì non è integrabile elementarmente, sicuro del testo?
Abbiamo:
\begin{equation}
\begin{cases}
x= \rho \sin(\phi) \cos(\theta) \\ y= \rho \sin(\phi) \sin(\theta) \\ z= \rho \cos(\theta)
\end{cases}
\end{equation}
Da cui:
$$
det(J)=
\begin{vmatrix}
\sin \phi \cos \theta & \rho \cos \phi \cos \theta & - \rho \sin \phi \sin \theta \\
\sin \phi \sin \theta & \rho \cos \phi \sin \theta & \rho \sin \phi \cos \theta \\
\cos \phi & - \rho \sin \phi & 0
\end{vmatrix} = \rho^2 \sin \phi
$$
L'integrale diventa dunque:
$
\int_{0}^{2\pi}( \int_{0}^{pi} (\int_{0}^{\sqrt{t}} (\rho^2 \sin(\phi) e^{-\rho^2/2} d\rho) d\phi) d\theta)
$
però quella roba lì non è integrabile elementarmente, sicuro del testo?
Si il testo è quello, l'esercizio mi chiede di esprimere il risultato in funzione della funzione degli errori. Purtroppo non riesco ad attaccare in nessun modo l'integrale anche sotto questa condizione che mi dovrebbe facilitare i calcoli.
In effetti Wolfram risponde con
Ma non ci riesco ad arrivare con i calcoli
In effetti Wolfram risponde con
Ma non ci riesco ad arrivare con i calcoli
Grazie ad entrambi per le risposte, ripeto perché può essere che TeM non abbia visto il mio edit, come dici tu appunto è richiesta una soluzione che sia in funzione della funzione degli errori, per la quale io intendo l'integrale di una gaussiana normalizzata, per capirci. Spero di non star sbagliando la terminologia...
Grande, grazie mille!
Se volessi infine derivare rispetto ad $ R $ il risultato, come mi devo comportare con la funzione degli errori? Quale è in questo caso la sua derivata?
Se volessi infine derivare rispetto ad $ R $ il risultato, come mi devo comportare con la funzione degli errori? Quale è in questo caso la sua derivata?
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