Integrale triplo con cono e sfera
Vi pongo questo esercizio che mi sta facendo dannare perché non riesco a far uscire il risultato del testo:
Calcolare $intintintz$ nel dominio così composto: $z>=(x^2 +y^2)/3$, $x^2 +y^2 +z^2<=4$, utilizzando le coordinate cilindriche.
Ho effettuato il cambio di coordinate e sono arrivato alle disequazioni $z^2<=4-r^2$ e $z>=r^2 /3$. Dalla prima equazione ho ricavato $z<=sqrt(4-r^2)$, da cui $r^2 /3<=z<=sqrt(4-r^2)$. Per trovare l'intervallo di $r$ ho posto $r^2 /3<=sqrt(4-r^2)$, che da come risultato $0<=r<=sqrt3$ (poichè $r>=0$). A questo punto avrei tutti e tre gli intervalli che mi servono, compreso $0<=phi<=2pi$.
Ora l'integrale triplo, nei tre intervalli calcolati viene $intintint z^2$, considerando lo jacobiano $z$, e da qui non c'è verso di arrivare a una soluzione soddisfacente, sono bloccato. Potreste darmi una mano per favore?
Calcolare $intintintz$ nel dominio così composto: $z>=(x^2 +y^2)/3$, $x^2 +y^2 +z^2<=4$, utilizzando le coordinate cilindriche.
Ho effettuato il cambio di coordinate e sono arrivato alle disequazioni $z^2<=4-r^2$ e $z>=r^2 /3$. Dalla prima equazione ho ricavato $z<=sqrt(4-r^2)$, da cui $r^2 /3<=z<=sqrt(4-r^2)$. Per trovare l'intervallo di $r$ ho posto $r^2 /3<=sqrt(4-r^2)$, che da come risultato $0<=r<=sqrt3$ (poichè $r>=0$). A questo punto avrei tutti e tre gli intervalli che mi servono, compreso $0<=phi<=2pi$.
Ora l'integrale triplo, nei tre intervalli calcolati viene $intintint z^2$, considerando lo jacobiano $z$, e da qui non c'è verso di arrivare a una soluzione soddisfacente, sono bloccato. Potreste darmi una mano per favore?
Risposte
"sguonza":
considerando lo jacobiano z
Sicuro di questo Jacobiano per il passaggio in coordinate cilindriche?
"ingres":
[quote="sguonza"]considerando lo jacobiano z
Sicuro di questo Jacobiano per il passaggio in coordinate cilindriche?[/quote]
Che errore grossolano....Mi sono scervellato su tutti gli errori che potevo aver commesso con gli intervalli, provando ad integrare prima su uno, poi sull'altro, per semplificare i conti, e ho confuso $r$ con $z$....Grazie della segnalazione
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