Integrale triplo
Salve ragazzi, vi presento quest'integrale triplo:
$ int int int_(T) sqrt((1-9z^2)(1-4y^2-9z^2)) dx dy dz $
Dove $T$ è il dominio racchiuso dall'ellissoide di equazione:
$ x^2+4y^2+9z^2=1$
Il problema è che non so da dove cominciare
La $z$ è compresa tra $-1/3sqrt(1-x^2-4y^2)$ e $1/3sqrt(1-x^2-4y^2)$, quindi potrei ricondurmi all'integrale doppio dell'ellisse del piano $xy$, ma poi la risoluzione dell'integrale mi viene troppo lunga e complicata. Oppure forse dovrei passare a coordinate polari o cilindriche, non so.
Spero in un vostro aiuto, grazie
$ int int int_(T) sqrt((1-9z^2)(1-4y^2-9z^2)) dx dy dz $
Dove $T$ è il dominio racchiuso dall'ellissoide di equazione:
$ x^2+4y^2+9z^2=1$
Il problema è che non so da dove cominciare
La $z$ è compresa tra $-1/3sqrt(1-x^2-4y^2)$ e $1/3sqrt(1-x^2-4y^2)$, quindi potrei ricondurmi all'integrale doppio dell'ellisse del piano $xy$, ma poi la risoluzione dell'integrale mi viene troppo lunga e complicata. Oppure forse dovrei passare a coordinate polari o cilindriche, non so.
Spero in un vostro aiuto, grazie
Risposte
Niente da fare per nessuno, quindi... 
Ciao ,
ieri e oggi ho provato a pensare a questo integrale ma non mi venivano idee , fino a stamattina quando ho preso spunto da un post in questa sezione dove c'era una domanda simile.
Prova a dare un'occhiata qua integrale-doppio-t97046.html
Spero che qualcuno più esperto ti aiuti perchè il tuo esercizio interessa anche a me
ieri e oggi ho provato a pensare a questo integrale ma non mi venivano idee , fino a stamattina quando ho preso spunto da un post in questa sezione dove c'era una domanda simile.
Prova a dare un'occhiata qua integrale-doppio-t97046.html
Spero che qualcuno più esperto ti aiuti perchè il tuo esercizio interessa anche a me
Faccio il cambiamento di variabili \( x=u, y=\frac{v}{2}, z=\frac{w}{3}\) e ottengo:
\( I=\frac{1}{6}\int\int\int_{Q}\sqrt{\left(1-w^{2}\right)\left(1-v^{2}-w^{2}\right)}dudvdw\) dove \( Q \) è l'interno della sfera unitaria
Per simmetria posso integrare solo nel primo ottante :
\( I=\frac{4}{3}\int\int\int_{S}\sqrt{\left(1-z^{2}\right)\left(1-y^{2}-z^{2}\right)}dxdydz\) (ho rinominato le variabili mute )
\( S=\left\{ \left(x,y,z\right):0\leq x\leq1,0\leq y\leq\sqrt{1-x^{2}},0\leq z\leq\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\right\}=\)
\( = \left\{ \left(x,y,z\right):\left(y,z\right)\in C,0\leq x\leq\sqrt{1-y^{2}-z^{2}}\right\}\)
dove \( C \) è il primo quarto di circonferenza unuitaria sul pino \( yz\)
\( I=\frac{4}{3}\int\int_{S}\left(\int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}-z^{2}}}\sqrt{\left(1-z^{2}\right)\left(1-y^{2}-z^{2}\right)}dx\right)dydz=\)
\( =\frac{4}{3}\int\int_{S}\sqrt{1-z^{2}}\left(1-y^{2}-z^{2}\right)dydz=\)
\( =\frac{4}{3}\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\sqrt{1-z^{2}}}\sqrt{1-z^{2}}\left(1-y^{2}-z^{2}\right)dy\right)dz\)
\( \frac{4}{3}\int_{0}^{1}\sqrt{1-z^{2}}\left(\int_{0}^{\sqrt{1-z^{2}}}\left(1-y^{2}-z^{2}\right)dy\right)dz\)
\( \frac{4}{3}\int_{0}^{1}\sqrt{1-z^{2}}\left[\left(1-z^{2}\right)y-\frac{1}{3}y^{2}\right]_{0}^{\sqrt{1-z^{2}}}dz\)
\( =\frac{8}{9}\int_{0}^{1}\left(1-z^{2}\right)^{2}dz........\)
\( I=\frac{1}{6}\int\int\int_{Q}\sqrt{\left(1-w^{2}\right)\left(1-v^{2}-w^{2}\right)}dudvdw\) dove \( Q \) è l'interno della sfera unitaria
Per simmetria posso integrare solo nel primo ottante :
\( I=\frac{4}{3}\int\int\int_{S}\sqrt{\left(1-z^{2}\right)\left(1-y^{2}-z^{2}\right)}dxdydz\) (ho rinominato le variabili mute )
\( S=\left\{ \left(x,y,z\right):0\leq x\leq1,0\leq y\leq\sqrt{1-x^{2}},0\leq z\leq\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}\right\}=\)
\( = \left\{ \left(x,y,z\right):\left(y,z\right)\in C,0\leq x\leq\sqrt{1-y^{2}-z^{2}}\right\}\)
dove \( C \) è il primo quarto di circonferenza unuitaria sul pino \( yz\)
\( I=\frac{4}{3}\int\int_{S}\left(\int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}-z^{2}}}\sqrt{\left(1-z^{2}\right)\left(1-y^{2}-z^{2}\right)}dx\right)dydz=\)
\( =\frac{4}{3}\int\int_{S}\sqrt{1-z^{2}}\left(1-y^{2}-z^{2}\right)dydz=\)
\( =\frac{4}{3}\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{\sqrt{1-z^{2}}}\sqrt{1-z^{2}}\left(1-y^{2}-z^{2}\right)dy\right)dz\)
\( \frac{4}{3}\int_{0}^{1}\sqrt{1-z^{2}}\left(\int_{0}^{\sqrt{1-z^{2}}}\left(1-y^{2}-z^{2}\right)dy\right)dz\)
\( \frac{4}{3}\int_{0}^{1}\sqrt{1-z^{2}}\left[\left(1-z^{2}\right)y-\frac{1}{3}y^{2}\right]_{0}^{\sqrt{1-z^{2}}}dz\)
\( =\frac{8}{9}\int_{0}^{1}\left(1-z^{2}\right)^{2}dz........\)
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