Integrale triplo

[Mith891]

Ciao, sono nuovo del forum quindi siate comprensivi se sbaglio qualcosa... devo risolvere questo integrale triplo:
$ int int int_(J)^( )1/(1+x^2+y^2)\ dx\ dy\ dz $

dove $ J = { z^2 <= x^2+y^2 <= 3 + z^2 } $

pensavo di passare in coordinate sferiche, ma facendo le sostutuzioni ottengo dei risultati che non portano a nulla. se riuscissi a trovare glie estremi di z potrei passare a coordinate polari e sarebbe tutto più semplice, ma visto che z è elevato al quadrato la cosa non è possibile. Avete qualche idea? sbaglio qualcosa?

[ciampax]

Io userei quelle cilindriche: [tex]$x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta,\ z=z$[/tex]. In questo modo hai le limitazioni [tex]$\theta\in[0,2\pi]$[/tex], [tex]$z^2\le \rho^2\le 3+z^2$[/tex] e quindi [tex]$z\le\rho\le\sqrt{3+z^2}$[/tex]

[Mith891]

grazie per la risposta, ma una cosa non capisco: passando da $ z^2 <= ro^2 $ a $ z <= ro $ non bisognerebbe mettere $ \pm $ davanti a ro?

P.s. come si mettone le lettere greche?

[ciampax]

[tex]$\rho\ge 0$[/tex] visto che è una distanza dall'origine, quindi devi selezionare solo il caso positivo. per le lettere greche i comandi sono della forma "\nome della lettera greca", ad esempio $\rho$ (\rho), $\theta$ (\theta), ecc...

[Mith891]

giusto, era una domanda sciocca e probabilemte lo è anche questa, ma anche scervellandomi non ci arrivo ancora. Gli estremi di z come li trovo? l'unica relazione che c'è mi lega z a $\rho$ e viceversa, come faccio a trovare z slegato dalle altre variabili?

edit: forse ho capito: essendo un integrale generalizzato devo prendere z compreso tra 0 e n e poi fare il limite per che tende a infinito?

[ciampax]

In realtà, ora che guardo bene come è fatto questo dominio, mi rendo conto che le cose non sono proprio semplici: non vorrei sbagliare, ma le due condizioni che definiscono $J$ sono le seguenti:

[tex]$z^2\le x^2+y^2$[/tex] rappresenta l'esterno del cono di vertice l'origine
[tex]$x^2+y^2\le 3+z^2$[/tex] rappresenta la parte contenente l'origine di un iperboloide a due falde che ammette il cono come superficie asintotica.

Questo vuol dire che il dominio $J$ è illimitato: per cui mi verrebbe da dire che [tex]$z\in[0,+\infty]$[/tex]

P.S.: per vedere come è fatto il dominio, ragiona così: poni $y=0$ e riscrivi le condizioni nel piano $xOz$: ti accorgerai che devi disegnare le bisettrici dei quadranti e l'iperbole equilatera di equazione $x^2-z^2=3$. Il dominio sarà allora la parte compresa tra le due bisettrici (che risultano asintoti dell'iperbole) e l'iperbole stessa, e quindi illimitato. Il dominio vero è proprio si ottiene da questo supponendo di applicare una rotazione completa attorno all'asse $z$.

EDIT: mi sa che non converge!
EDIT2: ah no, forse converge... ma è un po' un casino calcolarlo. mq sì, devi fare l'integrale tra zero e $a$ e mandare $a\to+\infty$.