Integrale triplo

[fireball1]

Vi risulta

$intintint_Omega xyz dxdydz = 1/720$

dove $Omega={x+y+z<=1,x>=0,y>=0,z>=0}$ ?

[_luca.barletta]

sì, mi risulta

[fireball1]

Ok grazie Luca

[_luca.barletta]

prego

[fireball1]

Calcolare il volume del sottoinsieme di $RR^3$:

$K={(x,y,z) in RR^3 : 1<=sqrt(x^2+y^2)<=e^(2arctg(y/x)),0<=y<=x,0<=z<=(5x)/(x^2+y^2)}

Viene anche a voi $5/sqrt2 (e^(pi/2)-1)$ ?

[Luca D.1]

"Reynolds":Calcolare il volume del sottoinsieme di $RR^3$:

$K={(x,y,z) in RR^3 : 1<=sqrt(x^2+y^2)<=e^(2arctg(y/x)),0<=y<=x,0<=z<=(5x)/(x^2+y^2)}

Viene anche a voi $5/sqrt2 (e^(pi/2)-1)$ ?

Ciao, ti posso chiedere come si ragiona con un integrale del genere per poter eventualmente fare un cambio di coordinate?
Vedo che compaiono due $x^2 + y^2$, quindi immagino sarebbe utile parametrizzare x e y con sin e cos (o viceversa), ma vista la difficoltà nel graficare quell'insieme non saprei da dove partire!
Grazie e scusa se mi sono intromesso nel tuo post!

[_luca.barletta]

non mi ritrovo, può darsi che abbia sbagliato io: $(3/sqrt(2)e^(pi/2) - 5/sqrt(2) - 2)$

[fireball1]

Io sono riuscito a ridurlo al seguente integrale doppio:

$intint_([1,e^(pi/2)]xx[0,pi/4]) 5costheta d rho d theta

Almeno questo è corretto? Può essere che abbia sbagliato i calcoli dopo...

[fireball1]

Allora vi posto il procedimento. Occorre calcolare:

$V=intintint_K dxdydz=intintdxdy(int_0^((5x)/(x^2+y^2)) dz) = intint_D (5x)/(x^2+y^2) dxdy

dove $D={(x,y) in RR^2 : 1 <=sqrt(x^2+y^2) <= e^(2arctg(y/x)),0<=y<=x}$

A questo punto passando a polari si dovrebbe ottenere l'integrale che ho postato prima...

[_luca.barletta]

temo non vada bene, tu hai preso un dominio che, ad esempio, comprende anche il punto $(e^(pi/2),0)$, ma questo non rispetta la condizione $1 <=sqrt(x^2+y^2) <= e^(2arctg(y/x))$

[fireball1]

E allora quale sarebbe il modo corretto di procedere? Finché è in coordinate cartesiane l'integrale doppio va bene?

[_luca.barletta]

io passerei alle coordinate cilindriche:

$int_0^(pi/4)d\theta int_(1)^(e^(2theta))rhod\rho int_(0)^(5costheta/rho)dz$

[fireball1]

Infatti è quasi il testo a dirtelo in faccia di passare a coordinate cilindriche ,
ma l'ultimo integrale doppio che ho scritto in coordinate cartesiane è giusto?

[_luca.barletta]

sì, sbagliavi solo ad interpretare il dominio di integrazione

[fireball1]

"Reynolds":
$intint_D (5x)/(x^2+y^2) dxdy

dove $D={(x,y) in RR^2 : 1 <=sqrt(x^2+y^2) <= e^(2arctg(y/x)),0<=y<=x}$

Cioè mi stai dicendo che qui D è sbagliato?

[_luca.barletta]

"Reynolds":

$[1,e^(pi/2)]xx[0,pi/4]$

questo è sbagliato

[fireball1]

Ah ecco, appunto... Quindi D è giusto... Ora mi metto a fare altri esercizi, questo lo riprendo dopo e vediamo se riesco a sistemarlo...

[fireball1]

"luca.barletta":[quote="Reynolds"]

$[1,e^(pi/2)]xx[0,pi/4]$

questo è sbagliato[/quote]

Forse il dominio corretto era $[1,e^(2theta)]xx[0,pi/4]$ ?

[_luca.barletta]

"Luca D.":[quote="Reynolds"]Calcolare il volume del sottoinsieme di $RR^3$:

$K={(x,y,z) in RR^3 : 1<=sqrt(x^2+y^2)<=e^(2arctg(y/x)),0<=y<=x,0<=z<=(5x)/(x^2+y^2)}

Viene anche a voi $5/sqrt2 (e^(pi/2)-1)$ ?

Ciao, ti posso chiedere come si ragiona con un integrale del genere per poter eventualmente fare un cambio di coordinate?
Vedo che compaiono due $x^2 + y^2$, quindi immagino sarebbe utile parametrizzare x e y con sin e cos (o viceversa), ma vista la difficoltà nel graficare quell'insieme non saprei da dove partire!
Grazie e scusa se mi sono intromesso nel tuo post![/quote]

scusa se ti abbiamo un po' trascurato ma eravamo presi dall'integrale, comunque il dominio suggerisce spudoratamente di passare alle coordinate cilindriche; gli indizi sono $sqrt(x^2+y^2)$, $arctg(y/x)$ e $x/(x^2+y^2)$

[_luca.barletta]

"Reynolds":[quote="luca.barletta"][quote="Reynolds"]

$[1,e^(pi/2)]xx[0,pi/4]$

questo è sbagliato[/quote]

Forse il dominio corretto era $[1,e^(2theta)]xx[0,pi/4]$ ?[/quote]

sì

[fireball1]

Infatti non so perché avevo scritto così prima... Boh!
Grazie comunque Luca per la disponibilità (e la pazienza, soprattutto)!