Integrale triplo

[Manox]

Salve a tutti, non riesco a risolvere questo esercizio che chiede: dato il paraboloide di equazione $ z = x²+ y² $, calcolare il volume racchiuso tra il paraboloide ed il piano $ z = 4 $. Imposto l'integrale triplo in cui $ z $ varia tra $ 0 $ e $ 4 $ e $ x $ e $ y $ in $ x²+ y²≤z $, però non riesco a ottenere il risultato esatto, forse perché sbaglio gli estremi di integrazione di $ x $ e $ y $. Qualcuno può mostrarmi la risoluzione corretta? Grazie.

[pilloeffe]

Ciao Manox,

"Manox":[...] però non riesco a ottenere il risultato esatto [...]

Tiro ad indovinare: secondo me non hai considerato che il raggio della sezione orizzontale varia al variare della quota $z$ fra $0$ e $4$...
L'insieme di integrazione è $\Omega = {(x, y, z) \in \RR^3 : 0 \le x^2 + y^2 \le z \le 4} $ e passando in coordinate cilindriche si ha:
$0 \le z \le 4 $
$ 0 \le \rho \le sqrt(z) $
$ 0 \le \theta < 2\pi $

[Manox]

Ti ringrazio dell'aiuto e si, hai ragione, non avevo considerato il fatto che il raggio variasse con $ z $, cosa con cui mi trovo anche d'accordo, ma se parametrizzo la superficie in coordinate polari non ottengo che $ ø $ varia tra $ 0 $ e $ 2π $ e $ z=\rho² $ con \rho che varia tra $ 0 $ e $ 2 $ ?

[pilloeffe]

"Manox":Ti ringrazio dell'aiuto

Prego!

"Manox":[...] ma se parametrizzo la superficie in coordinate polari non ottengo che ø varia tra $0$ e $2\pi $ e $z=\rho²$ con $\rho$ che varia tra $0$ e $2$ ?

Ni... In effetti $0 \le \theta < 2\pi $, ma $0 \le \rho le \sqrt z $
Se osservi con attenzione l'espressione di $\Omega $, fra le scelte più logiche c'è quella dell'integrazione per sezioni, lasciando variare $z$ fra $0$ e $4$ e passando in coordinate polari utilizzando la trasformazione

$\Phi(\rho, \theta) := {(x = \rho cos\theta),(y = \rho sin\theta):} $

con $\rho \in [0, \sqrt z] $, $\theta \in [0, 2\pi)$ e $|det J_{\Phi(\rho, \theta) }| = \rho $

[Manox]

Ok, vorrei chiedere un'altra cosa giusto per capire visto che ho un po' di difficoltà con queste parametrizzazione. Se dovessi fare l'integrale su questo dominio ,ad esempio, $ z=1-x²-y² z≥0 $ , che dovrebbe essere un paraboloide capovolto con vertice $ (0,0,1) $, dico bene? In questo caso \rho dipende sempre da $ √z $ ?

[pilloeffe]

"Manox": [...] $z=1−x²−y²z≥0 $, che dovrebbe essere un paraboloide capovolto con vertice $(0,0,1)$, dico bene? [...]

Hai scritto un po' male, immagino che il paraboloide sia $z = f(x,y) = 1 - x^2 - y^2 $ con $z \ge 0 $, perciò si ha:

$x^2 + y^2 = 1 - z $

Siccome la somma di quadrati è sempre positiva o al più nulla, ne consegue che $0 \le z \le 1 $ e si ha:

$\rho^2 = 1 - z \implies \rho = \sqrt{1 - z} \ge 0 $

[Manox]

Si hai ragione, ho sbagliato a scrivere, chiedo scusa. Tornando all'esercizio: in questo caso \rho non varia al variare della quota? O é un valore fisso?

[pilloeffe]

"Manox":[...]Tornando all'esercizio: in questo caso $\rho $ non varia al variare della quota? [...]

Perché dici ciò?
$\rho $ varia al variare della quota $z$ in base alla seguente:

$\rho = \rho(z) = \sqrt{1 - z} \ge 0 $

con $0 \le z \le 1 $ e quindi ovviamente $\rho(0) = 1 $ e $\rho(1) = 0 $

[Manox]

Mi sono espresso male, intendevo dire, quando vado a fare l'integrale, $ \rho $ varia tra $ 0 $ e $ √1-z $ ?

[pilloeffe]

Eh sì, proprio come l'altro variava fra $0$ e $\sqrt{z} $...

[Manox]

Capito, grazie infinite della spiegazione.