Integrale triplo
Ciao a tutti! vi propongo un integrale triplo che ho provato a risolvere, ma il mio risultato non coincide con la soluzione dell'esercizio. Cosa sto sbagliando ?
$\int_A z\ \text{d} x\text{d} y\text{d} z $
dove
$A=\{\(x,y,z)in mathbb(R^3)\ \|\sqrt(3/4x^2+ (y-1)^2)<=z<=2-y/2$
integrando per fili
$int_ \ \text{d} x\text{d} yint_sqrt(3/4x^2+ (y-1)^2)^ (2-y/2)z\text{d} z $
$1/2int_ \ \((2-y/2)^2-(3/4x^2+(y-1)^2))text{d} x\text{d} y=1/2int_ \ \(3-3/4x^2-3/4y^2)text{d} x\text{d} y$
che in polari diventa
$1/2int_ \ \(3-3/4\rho^2)\rhotext{d} rho\text{d}theta=...=3\pi$
con $\rhoin [0,2]$ e $\thetain[0,2\pi]$ in quanto $sqrt(3/4x^2+ (y-1)^2)<=(2-y/2)->x^2+y^2<=4$ e la condzione $2-y/2>=0->y<=4$ é contenuta nella precedente.
La soluzione dovrebbe essere $12\pi$
Grazie
$\int_A z\ \text{d} x\text{d} y\text{d} z $
dove
$A=\{\(x,y,z)in mathbb(R^3)\ \|\sqrt(3/4x^2+ (y-1)^2)<=z<=2-y/2$
integrando per fili
$int_ \ \text{d} x\text{d} yint_sqrt(3/4x^2+ (y-1)^2)^ (2-y/2)z\text{d} z $
$1/2int_ \ \((2-y/2)^2-(3/4x^2+(y-1)^2))text{d} x\text{d} y=1/2int_ \ \(3-3/4x^2-3/4y^2)text{d} x\text{d} y$
che in polari diventa
$1/2int_ \ \(3-3/4\rho^2)\rhotext{d} rho\text{d}theta=...=3\pi$
con $\rhoin [0,2]$ e $\thetain[0,2\pi]$ in quanto $sqrt(3/4x^2+ (y-1)^2)<=(2-y/2)->x^2+y^2<=4$ e la condzione $2-y/2>=0->y<=4$ é contenuta nella precedente.
La soluzione dovrebbe essere $12\pi$
Grazie
Risposte
Ho provato risolvere l'integrale e mi viene esattamente come te..
poi anche la condizione.. cioè
questo $ \sqrt(3/4x^2+(y-1)^2)\leq 2-y/2 $
svolgendo i conti, arrivo a questo $ x^2+y^2\leq 4 $
e passando alle solite coordinate polari si ha $ { ( \rho\in [0,2] ),( \theta \in [0,2\pi] ):} $
ed impostando il tutto si ha
$ 1/2 [\int_(0)^(2\pi)d\theta \int_(0)^(2)\rho(3-3/4 \rho^2)d\rho] $
Sei proprio sicuro che deve venire $12\pi$ ?
Ho notato che forse la soluzione che hai si è persa un $1/4$
perchè se fai l'mcm nella parentesi tonda, cioè questa $(3-3/4 \rho^2)$
se fai l'mcm ti viene $ ((12-3\rho^2)/(4))=1/4 (12-3\rho^2) $
Ecco se elimini (non so per quale motivo) quell'$1/4$ vedrai che viene $12\pi$
sinceramente non so il motivo perchè la soluzione ha fatto sparire $1/4$
poi anche la condizione.. cioè
questo $ \sqrt(3/4x^2+(y-1)^2)\leq 2-y/2 $
svolgendo i conti, arrivo a questo $ x^2+y^2\leq 4 $
e passando alle solite coordinate polari si ha $ { ( \rho\in [0,2] ),( \theta \in [0,2\pi] ):} $
ed impostando il tutto si ha
$ 1/2 [\int_(0)^(2\pi)d\theta \int_(0)^(2)\rho(3-3/4 \rho^2)d\rho] $
Sei proprio sicuro che deve venire $12\pi$ ?
Ho notato che forse la soluzione che hai si è persa un $1/4$
perchè se fai l'mcm nella parentesi tonda, cioè questa $(3-3/4 \rho^2)$
se fai l'mcm ti viene $ ((12-3\rho^2)/(4))=1/4 (12-3\rho^2) $
Ecco se elimini (non so per quale motivo) quell'$1/4$ vedrai che viene $12\pi$
sinceramente non so il motivo perchè la soluzione ha fatto sparire $1/4$
Esatto, "sparisce" un fattore $1/4$.
Si tratta di un integrale di una vecchia prova scritta di Analisi II e c'è una traccia di soluzione.
Il procedimento è identico, a parte un passaggio:
scrive $\int\dxdy\int_sqrt(3/4x^2+(y-1)^2)^(2-y/2)zdz =int(6-3/2x^2-3/2y^2)dxdy=polari=...=12\pi$
E' evidente che si perde il fattore $1/2$ dopo aver integrato $z$, ma questo non è sufficiente per giustificare la differenza dei risultati.
Penso che la nostra soluzione sia giusta, ma scriverò al più presto una mail al professore per chiedere conferma e aggiornerò la discussione.
Grazie mille
Si tratta di un integrale di una vecchia prova scritta di Analisi II e c'è una traccia di soluzione.
Il procedimento è identico, a parte un passaggio:
scrive $\int\dxdy\int_sqrt(3/4x^2+(y-1)^2)^(2-y/2)zdz =int(6-3/2x^2-3/2y^2)dxdy=polari=...=12\pi$
E' evidente che si perde il fattore $1/2$ dopo aver integrato $z$, ma questo non è sufficiente per giustificare la differenza dei risultati.
Penso che la nostra soluzione sia giusta, ma scriverò al più presto una mail al professore per chiedere conferma e aggiornerò la discussione.
Grazie mille
"carlottante":
Penso che la nostra soluzione sia giusta, ma scriverò al più presto una mail al professore per chiedere conferma e aggiornerò la discussione.
pure io penso che la nostra soluzione è giusta.. si scrivi al prof.. o meglio scrivi all'esercitatore.. e vai da lui a fargli vedere come abbiamo fatto..
Grazie mille! Gentilissimo/a
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