Integrale Triplo
Ciao a tutti, sono alle prese con gli integrali tripli, vi chiedo una mano su una che sto svolgendo:
Calcolare : $ intintint_(Omega) (x^2+y^2)z^2dxdydz $
Con: $ Omega={(x,y,z)in R^3:x^2+y^2+z^2<=4,x^2+y^2>=1} $
Allora l'insieme è formato da una sfera di raggio 4 intersecata da un cilindro di raggio 1.
La prima relazione nell'insieme mi suggerirebbe d usare le coordinate sferiche, ma ho preferito adottare quelle cilindriche perchè non ne uscivo dal sistema di disequzioni di quelle sferiche... Ho scritto così, scegliendo di integrare per strati visto che il cilindro e la sfera si intersecano in $ z=+-sqrt3 $ :
$ Omega'={(rho,vartheta,t)in R^3:-sqrt3<=t<=sqrt3,0<=vartheta<=2pi,1<=rho<=sqrt(4-t^2)} $
L'integrale mi diventa quindi:
$ int_-sqrt3^sqrt3int_0^(2pi)int_1^(sqrt(4-t^2))rho^3t^2drhodvarthetadt=...=(156pisqrt3)/35 $
Vorrei sapere se gli estremi di integrazione sono corretti.
Immagino fosse possibile esprimere il tutto in coordinate sferiche, ma credo venisse fuori più difficile o sbaglio?
Grazie in anticipo
Calcolare : $ intintint_(Omega) (x^2+y^2)z^2dxdydz $
Con: $ Omega={(x,y,z)in R^3:x^2+y^2+z^2<=4,x^2+y^2>=1} $
Allora l'insieme è formato da una sfera di raggio 4 intersecata da un cilindro di raggio 1.
La prima relazione nell'insieme mi suggerirebbe d usare le coordinate sferiche, ma ho preferito adottare quelle cilindriche perchè non ne uscivo dal sistema di disequzioni di quelle sferiche... Ho scritto così, scegliendo di integrare per strati visto che il cilindro e la sfera si intersecano in $ z=+-sqrt3 $ :
$ Omega'={(rho,vartheta,t)in R^3:-sqrt3<=t<=sqrt3,0<=vartheta<=2pi,1<=rho<=sqrt(4-t^2)} $
L'integrale mi diventa quindi:
$ int_-sqrt3^sqrt3int_0^(2pi)int_1^(sqrt(4-t^2))rho^3t^2drhodvarthetadt=...=(156pisqrt3)/35 $
Vorrei sapere se gli estremi di integrazione sono corretti.
Immagino fosse possibile esprimere il tutto in coordinate sferiche, ma credo venisse fuori più difficile o sbaglio?
Grazie in anticipo
Risposte
Ciao !
Purtroppo vado di corsa e non posso neanche controllare la tua parametrizzazione.
Volendo comunque puoi controllare il risultato da te
http://www.wolframalpha.com/widgets/vie ... d9b2a98588
A me sembra che la parametrizzazione in coordinate sferiche scorra liscia. Appena ho tempo ci provo ,
a te cosa è venuto quando hai provato?
Purtroppo vado di corsa e non posso neanche controllare la tua parametrizzazione.
Volendo comunque puoi controllare il risultato da te
http://www.wolframalpha.com/widgets/vie ... d9b2a98588
A me sembra che la parametrizzazione in coordinate sferiche scorra liscia. Appena ho tempo ci provo ,
a te cosa è venuto quando hai provato?
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