Integrale triplo
Salve, ho difficoltà nell' fare il disegno del dominio C e nella parametrizzazione in c.cilindriche.
Avevo pensato a $ { ( x=rho costheta ),( y=rho sin theta ),( z=z ):} $
con $rho=[0, sqrt(2)]$ $theta=[0, pi]$ $z=[0,sqrt(2)]$
Consigliatemi un software o un sito per fare il grafico.
Risposte
Per fare un disegno semplice, basta che "cancelli" la coordinata $y$, così da ottenere, nel piano $xOz$ i grafici delle due bisettrici $z=\pm x$ e la circonferenza $x^2+z^2=\sqrt{2}$. A questo punto vedrai da te che, con il passaggio a coordinate cilindriche, ovviamente $\theta\in[0,2\pi]$, ma a causa della simmetria della figura, puoi anche limitarti ad usare $\theta\in[0,\pi]$ e poi raddoppiare l'integrale. Inoltre per le altre limitazioni avrai
$$0\le x\le 1,\qquad x\le z\le\sqrt{2-x^2}$$
e da queste, con la trasformazione scritta, ricavi le limitazioni esatte per $\rho\, z$.
Ora però ti faccio vedere un metodo più veloce: se consideri le equazioni scritte in precedenza delle superfici e le riscrivi usando le trasformazioni date queste portano a
$$z=\rho,\qquad \rho^2+z^2=2$$
L'assenza del parametro $\theta$ in queste equazioni ti permette di affermare che $\theta\in[0,2\pi]$. Se ora disegni le due curve date nel piano $\rho O z$, otterrai la bisettrice del primo quadrante (ricorda che $\rho\ge 0$ per definizione) e il quarto di circonferenza di centro l'origine e raggio $\sqrt{2}$ sempre nel primo quadrante. Da questi ricavi le limitazioni corrette.
$$0\le x\le 1,\qquad x\le z\le\sqrt{2-x^2}$$
e da queste, con la trasformazione scritta, ricavi le limitazioni esatte per $\rho\, z$.
Ora però ti faccio vedere un metodo più veloce: se consideri le equazioni scritte in precedenza delle superfici e le riscrivi usando le trasformazioni date queste portano a
$$z=\rho,\qquad \rho^2+z^2=2$$
L'assenza del parametro $\theta$ in queste equazioni ti permette di affermare che $\theta\in[0,2\pi]$. Se ora disegni le due curve date nel piano $\rho O z$, otterrai la bisettrice del primo quadrante (ricorda che $\rho\ge 0$ per definizione) e il quarto di circonferenza di centro l'origine e raggio $\sqrt{2}$ sempre nel primo quadrante. Da questi ricavi le limitazioni corrette.
Con le limitazioni $rho costheta <= z<= sqrt(2-rho^2 cos^2 theta)$, $0<=theta<=pi$ , $0<= rho <= sqrt(2)$ l'integrale da risolvere diventa $2 int int int_()^()z/rho d theta drho dz $
risultato $ pi (log(sqrt(2)) - 1 )$. Che dite?
risultato $ pi (log(sqrt(2)) - 1 )$. Che dite?
"ciampax":
Per fare un disegno semplice, basta che "cancelli" la coordinata $y$, così da ottenere, nel piano $xOz$ i grafici delle due bisettrici $z=\pm x$ e la circonferenza $x^2+z^2=\sqrt{2}$. A questo punto vedrai da te che, con il passaggio a coordinate cilindriche, ovviamente $\theta\in[0,2\pi]$, ma a causa della simmetria della figura, puoi anche limitarti ad usare $\theta\in[0,\pi]$ e poi raddoppiare l'integrale. Inoltre per le altre limitazioni avrai
$$0\le x\le 1,\qquad x\le z\le\sqrt{2-x^2}$$
e da queste, con la trasformazione scritta, ricavi le limitazioni esatte per $\rho\, z$.
Ora però ti faccio vedere un metodo più veloce: se consideri le equazioni scritte in precedenza delle superfici e le riscrivi usando le trasformazioni date queste portano a
$$z=\rho,\qquad \rho^2+z^2=2$$
L'assenza del parametro $\theta$ in queste equazioni ti permette di affermare che $\theta\in[0,2\pi]$. Se ora disegni le due curve date nel piano $\rho O z$, otterrai la bisettrice del primo quadrante (ricorda che $\rho\ge 0$ per definizione) e il quarto di circonferenza di centro l'origine e raggio $\sqrt{2}$ sempre nel primo quadrante. Da questi ricavi le limitazioni corrette.
leggi sopra.
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