Integrale triplo!!!!

[stefy_paol]

Salve,
Sto cercando di svolgere il seguente esercizio:
Calcolare l'integrale triplo $ int int int_(S)^() (|x|+ |y|)|z| dx dy dz $
Dove S è la sfera di coordinate $ x^2+y^2+z^2<= r^2 $
ora quello che ho pensato io è di integrare per fili quindi mi son trovato la proiezione di s su z=0 ma poi non so come calcolarmi l'integrale di $|z|$. qualcuno può aiutarmi? o sa dirmi se c'è un modo più semplice? grazie mille

[stefy_paol]

"TeM":Bada bene che, grazie alle simmetrie vigenti, si ha
\[
\iiint\limits_{\left\{x^2 + y^2 + z^2 \le R^2\right\}} (|x| + |y|)\,|z|\,dx\,dy\,dz
= \iiint\limits_{\left\{
\begin{aligned}
& x^2 + y^2 + z^2 \le R^2 \\
& x \ge 0 \\
& y \ge 0 \\
& z \ge 0 \\
\end{aligned}\right\}}
8\,(x + y)\,z\,dx\,dy\,dz \,. \] A questo punto non rimane che passare in coordinate sferiche e svolgere il conto.

ahha sei un mago per caso? comunque seriamente, di quali simmetrie parli? grazie mille veramente!

[stefy_paol]

grazie mille! ho fatto un'esercizio analogo ma era un integrale doppio, quindi disegnandolo avevo capito questa cosa. Grazie mille!

[stefy_paol]

"TeM":[quote="stefy_paol"]di quali simmetrie parli?

Bada bene che stai integrando su una sfera (solida). Se ora nell'integranda "togliamo" il modulo, ad esempio a \(z\),
basterà integrare solamente nella metà sfera superiore e moltiplicare per due il risultato per ottenere quello dell'integrale di partenza. In maniera del tutto analoga si ragiona per \(x\) e per \(y\). In conclusione, una volta "tolti"
tutti i moduli, l'integrale "ridotto" andrà moltiplicato per \(2\cdot 2 \cdot 2 = 8\). In altri termini, invece che calcolare l'integrale sull'intera sfera con l'impiccio di tutti quei moduli, è sufficiente integrare nell'ottante individuato dalle diseguaglianze \(x \ge 0, \; y \ge 0, \; z \ge 0\) e moltiplicare tale risultato per \(8\), tenendo così in conto pure gli altri ottanti "trascurati". [/quote]

ti giuro questa è l'ultima domanda, passando alle coordinate sferiche, rho lo faccio variare tra o e il raggio R, theta lo faccio variare tra 0 e pi/2, ma non so in che intervallo prendere l'ultima variabile. scusami se ti stresso.

[stefy_paol]

"TeM":[quote="stefy_paol"]passando alle coordinate sferiche, rho lo faccio variare tra o e il raggio R, theta lo faccio variare tra 0 e pi/2, ma non so in che intervallo prendere l'ultima variabile.

Non ti preoccupare, se c'è "educazione" e "collaborazione" puoi fare tutte le domande che vuoi: qualcuno risponderà.

In ogni modo, nel primo ottante si ha \(0 \le \rho \le R\), \(0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2}\), \(0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\) e tutte queste disuguaglianze le
si ottengono formalmente sostituendo ad \(x,\,y,\,z\) le rispettive quantità della trasformazione di coordinate da
rettangolari a sferiche nelle disuguaglianze che ti ho "elencato" sopra.

P.S.: ricorda che \(J = \rho^2\,\sin\varphi\): sbirciando nei tuoi precedenti thread ho notato che sei un po' smemorina. [/quote]
già già, ho un po' di confusione nella testa!!!! comunque questa volta lo jacobiano non me lo sono scordata

[stefy_paol]

"TeM":[quote="stefy_paol"]questa volta lo jacobiano non me lo sono scordata

Benissimo!! Quindi, in conclusione, quanto porta quell'integrale?

P.S. se il risultato ottenuto fosse negativo... completa la frase. [/quote]

A me viene $6/5 r^5 $