Integrale triplo.

[renziao]

Salve a tutti.
Sto studiando per l'esame di analisi 2 e il mio professore ha inserito degli esercizi sugli integrali tripli. Mi sono bloccato sull'ultimo esercizio, in quanto ho provato varie vie che portano a risultati diversi da quello dato come risultato vero e proprio. Io credo che l'errore sia nel dominio di integrazione e nei limiti di integrazione.
Riporto qui di seguito la superficie E del mio integrale:

[math]
E = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 \leq 1, \, z^2 - x^2 - y^2 \leq 0, \, z \geq 0 \}
[/math]

Qualcuno mi può aiutare ad analizzare i valori di integrazione dell'integrale?
Grazie in anticipo.

[usaegetta]

L'insieme E identifica la regione di SPAZIO intersezione tra:

1) l'interno della superficie sferica x^2 + y^2 + z^2 = 1;
2) l'esterno della superficie conica x^2 + y^2 = z^2;
3) la parte superiore della superficie piana z = 0.

Per via della simmetria assiale di cui gode E conviene porre:

x = u cos(v)
y = u sin(v)
z = w

dove, di base, si ha u >= 0, 0 <= v < 2*pi, w in R.

Pertanto, l'insieme E* in quest'altre coordinate e' descritto da:

{ u >= 0
{ 0 <= v < 2*pi
{ u^2 + w^2 <= 1
{ u^2 >= w^2
{ w >= 0

sistema di disequazioni che una volta ridotto porge quanto richiesto:

{ 0 <= w <= 1/sqrt(2)
{ 0 <= v < 2*pi
{ w <= u <= sqrt(1-w^2)

A questo punto, se e' richiesto banalmente il calcolo del volume di E e' sufficiente calcolare l'integrale di "u" con tali estremi di integrazione, da cui V = sqrt(2)*pi/3.

Se, invece, l'integranda e' piu' complicata, non e' nemmeno detto che il cambiamento di coordinate appena descritto sia la scelta migliore, bensi' occorre pensarci su per bene.

D'altro canto, ti consiglio di iscriverti al forum di Matematicamente.it (sempre di proprieta' di Skuola.net), perlomeno li vi e' ancora vita e soprattutto vi si puo' scrivere in modo dignitoso, questo forum equivale ad un palazzo che sta cadendo a pezzi, aspetta solo la demolizione definitiva.

Buona giornata, ciao!

[miaalexandra]

In mathematics, a multiple integral is a definite integral of a function of several real variables, for instance, f or f. Integrals of a function of two variables over a region in are called double integrals, and integrals of a function of three variables over a region in are called triple integrals.Un integrale triplo estende il concetto di un integrale singolo e doppio a tre dimensioni. ... - Integrale Iterato: Un integrale triplo può essere valutato come ...
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