Integrale trigonometrico

[tommyr89]

Come si calcola la primitiva di $arcocot (sqrtx)$?

l'esercizio suggerisce di sostituire $sqrtx=t$ ottenendo $int arcocot(t)2tdt$ e poi di integrare per parti, ma non ci riesco perchè mi ritrovo sempre qualche arcocotangente o arcotangente da integrare!

[misanino]

Dopo che hai integrato per parti prova ad aggiungere e togliere 1 al numeratore sotto l'integrale e a spezzare quel numeratore in $t^2+1$ e $-1$

[tommyr89]

cosi sono riuscito a risolverlo, solo un dubbio mi è venuto però

la derivata di $arctgx=1/(1+x^2)$
la derivata di $arcocotgx=-1/(1+x^2)$

l'integrale di $1/(1+x^2)=arctgx$
mentre
l'integrale di $-1/(1+x^2)=-arctgx$ che è diverso da $arcocotgx$!

per quale motivo l'integrale della derivata di arcocotangente NON è arcocotangente???

[misanino]

"tommyr89":

per quale motivo l'integrale della derivata di arcocotangente NON è arcocotangente???

Certo che lo è.
Perchè non dovrebbe esserlo?

[tommyr89]

se provi con derive ti rendi conto che che se fai la derivata di $acot(x)$ ottieni $-1/(x^2+1)$ se poi fai l'integrale hai $-atan(x)$.
A questo punto fai il grafico e vedi che $-atan(x)$ è parallelo a $acot(x)$.
In pratica ho capito che l'integrale di $-1/(x^2+1)=-atan(x)=acotx-pi/2$.

(ho scritto tutte le formule con il linguaggio di derive)

[misanino]

"tommyr89":se provi con derive ti rendi conto che che se fai la derivata di $acot(x)$ ottieni $-1/(x^2+1)$ se poi fai l'integrale hai $-atan(x)$.
A questo punto fai il grafico e vedi che $-atan(x)$ è parallelo a $acot(x)$.
In pratica ho capito che l'integrale di $-1/(x^2+1)=-atan(x)=acotx-pi/2$.

(ho scritto tutte le formule con il linguaggio di derive)

Ti ricordo che quando fai un integrale non ottieni un'unica funzione, ma un'intera classe di funzioni che differiscono a meno di una costante.
Infatti ti hanno sicuramente insegnato che $\int f'(x)dx=f(x)+C$
cioè ad esempio $\int cos(x)dx=sen(x)+C$
e quindi $\int -1/(1+x^2)dx= acot(x)+C$
oppure $\int -1/(1+x^2)dx= -atan(x)+C$

[tommyr89]

se fai bene una prova vedrai che i risultati corretti sono i seguenti:

$\int -1/(1+x^2)dx= -atan(x)+c = acot(x) - pi/2 +c$!

[misanino]

"tommyr89":se fai bene una prova vedrai che i risultati corretti sono i seguenti:

$\int -1/(1+x^2)dx= -atan(x)+c = acot(x) - pi/2 +c$!

Stai scherzndo vero?!
Cosa ti cambia se derivi $acot(x) - pi/2 +c$ o $acot(x) +c$ dato che differiscono per una costante ($\pi/2$)?!
Infatti la derivata di una costante è nulla

[tommyr89]

non mi credere pazzo! per la derivata è sicuramente così ma se poi fai l'integrale della derivata ottenuta guarda cosa ti esce fuori!prova con derive!

[misanino]

"tommyr89":non mi credere pazzo! per la derivata è sicuramente così ma se poi fai l'integrale della derivata ottenuta guarda cosa ti esce fuori!prova con derive!

Ti capisco ora.
Ma derive seleziona solo una primitiva (integrale) fra le tante che ci sono.
Altrimenti dovrebbe disegnare infiniti grafici.
Ad esempio se dovesse disegnare l'integrale di 1 dovrebbe disegnare la retta $y=x$, ma anche $y=x+1$, $y=x+sqrt(2)$, $y=1/2$ e così via
Il che è impossibile.
Quindi non preoccuparti di ciò cha fa Derive.
Se tu risolvi il tuo esercizio dicendo che l'integrale di $-1/(1+x^2)$ è $acot(x)+C$ con $C$ costante, sicuramente l'esercizio è giusto.
Ciao

[tommyr89]

in qualsiasi caso impostando come costante=0 vengono due risultati diversi! questo crea non poche perplessità!

Ti ringrazio dell'aiuto! Ciao!

[misanino]

"tommyr89":in qualsiasi caso impostando come costante=0 vengono due risultati diversi! questo crea non poche perplessità!

Ti ringrazio dell'aiuto! Ciao!

Non c'è perplessità.
Ripeto:
secondo te quanto vale l'integrale di 1?
Vale x?
Oppure vale x+1?
Oppure x-10?

Se 2 funzioni hanno la stessa derivata non significa che sono la stessa funzione, ma solo che crescono e decrescono nello stesso modo