Integrale svolto con eulero

[cristian.vitali.102]

ciao, ho provato a svolgere questo integrale:

$int sqrt(x^2+3)/x$

ho utilizzato eulero ponendo:

$sqrt(x^2+3)=x+t$

$x^2+3=x^2+2xt+t^2$

$2xt=t^2-3$

$x=(t^2-3)/(2t)$

$dx= (4t^2-2t^2-6)/(4t^2)dt$

$dx=(t^2-3)/(2t^2)dt$

sostituisco e ottengo:

$int ((t^2-3)/(2t)+t)/((t^2-3)/(2t)) (t^2-3)/(2t^2)dt$

$int (2t)/(t^2-3) ((t^2-3)/(2t)+t) (t^2-3)/(2t^2) dt$

semplificando:

$int (t^2-3+2t^2)/(2t) 1/(2t^2) dt$

$int (3t^2-3)/(4t^3)dt$

$3/4 int 1/t dt - 3/4 int 1/t^3 dt$

ora tovare le primitive è semplice, ma controllando su wolphram alpha non corrispondono... c è qualcosa di errato nei calcoli? oppure non posso utilizzare eulero in alcuni casi?

[E-3131]

$x=(3-t^2)/(2t)$

[cristian.vitali.102]

anche cosi non torna.

[mazzarri1]

Ciao eos.s

ho provato con la sostituzione banalissima

$x^2+3=t^2$

$x=sqrt(t^2-3)$

$dx=t/sqrt(t^2-3) dt$

e l'integrale diventa

$int t^2 / (t^2-3) dt$

cioè

$int(1+3/(t^2-3)) dt$

ora, come dice Tommik, lascio a te il piacere di ucciderlo...

ciao!

[cristian.vitali.102]

con wolphram alpha mi da un altro risultato: $int sqrt(x^2+3)/x dx = sqrt(x^2+3)-sqrt(3) log(sqrt(3) sqrt(x^2+3)+3)+sqrt(3) log(x)+c$

ecco il link: http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... %29%2Fx+dx

[mazzarri1]

Capisco che Wolfram Alpha sia diventato l'oracolo assoluto però perchè non provi a continuare con quello che ti ho appena indicato? Sai andare avanti?
Se hai fatto le cose bene e ricontrollando vedi che non hai commesso errori perchè devi credere che Wolfram non possa mai sbagliare? Fidati più di te stesso che di queste cose elettroniche...

[Lo_zio_Tom]

la soluzione proposta da mazzarri è semplicissima ed efficace....quindi risolvilo così e vedi cosa ti esce....se non ne sei convinto alla fine deriva la primitiva e vedi se ti torna l'integranda...questa è la vera prova che l'integrale è giusto..

se poi non hai una cippa da fare...prova a vedere se le soluzioni (la tua e quella di Wolfram alpha) coincidono...diverse strade portano a [apparenti] diverse soluzioni che poi coincidono a meno di una costante additiva, basta solo rimaneggiarle, razionalizzarle ecc ecc....ma è un esercizio inutile....

pensa che solo a guardarle così già mi piacciono....(la tua e quella di wolfram)

$int(1-3/(t^2-3))dt$

1) $1$ diventerà $sqrt(x^2+3)$

2) l'altro fattore sarà una somma di logaritmi (una volta scomposta)...

mi sembra che la soluzione di W.A. sia più o meno lo stesso

==> impegnati e risolvi sto integralino senza dire torna o non torna se ancora devi svolgere i conticini....

[cristian.vitali.102]

ok grazie mille a entrambi, proseguo cosi

[Lo_zio_Tom]

"eos.s":ok grazie mille a entrambi, proseguo cosi

questo è l'atteggiamento corretto!!

[mazzarri1]

"eos.s":ok grazie mille a entrambi, proseguo cosi

yes!!

Ciao Tommik!! Hai "sentito" che ti ho chiamato in causa prima? Un abbraccio!