Integrale superiore ed inferiore
Mi potete dare una definizione di integrale superiore ed inferiore,visto che sul mio libro non c'è?
Grazie
Grazie
Risposte
Data f funzione riemann-integrabile in [a,b] il suo integrale superiore in [a,b] è la funzione:
$I_s(x)=int_a^xf(t)dt$
Analogamente l'integrale inferiore è la funzione:
$I_i(x)=int_x^bf(t)dt$
$I_s(x)=int_a^xf(t)dt$
Analogamente l'integrale inferiore è la funzione:
$I_i(x)=int_x^bf(t)dt$
"Megan00b":
Data f funzione riemann-integrabile in [a,b] il suo integrale superiore in [a,b] è la funzione:
$I_s(x)=int_a^xf(t)dt$
Analogamente l'integrale inferiore è la funzione:
$I_i(x)=int_x^bf(t)dt$
Veramente io ricordavo quest'altra definizione.
Siano $f:[a,b]to RR$ una funzione limitata e $D={x_0,\ldots , x_n}$ una decomposizione dell'intervallo $[a,b]$*.
Si chiamano somme integrali superiori ed inferiori relative ad $f$ nella decomposizione $D$ rispettivamente i due numeri:
$S_D(f)=\sum_(i=0)^(n-1) "sup"_([x_i,x_(i+1)]) f*(x_(i+1)-x_i) quad$ ed $quad s_D(f)=\sum_(i=0)^(n-1) "inf"_([x_i,x_(i+1)]) f*(x_(i+1)-x_i)$.
Si prova che i due insiemi numerici $Sigma(f)={S_D(f)}_(D in bbD)$ e $sigma(f)={s_D(f)}_(D in bbD)$ sono separati e che $sigma(f)$ è l'insieme dei minoranti: ne consegue che sono finiti l'estremo inferiore di $Sigma(f)$ e l'estremo superiore di $sigma(f)$ e che risulta:
$AAD in bbD, quad s_D(f)le "inf" Sigma(f) quad$ e $quad "sup" sigma(f) le S_D(f)$.
I due numeri $"inf" Sigma(f)$ e $"sup" sigma(f)$ si denotano rispettivamente coi simboli:
$\stackrel{_}{\int_a^b}f(x)" d"x quad$ e $quad \stackrel{\int_a^b}{_}f(x)" d"x$
e si chiamano rispettivamente integrale superiore ed integrale inferiore di $f$ su $[a,b]$.
Una funzione $f$ si dice integrabile (secondo Riemann) in $[a,b]$ se e solo se coincidono i suoi integrali superiore ed inferiore (ossia se i due insiemi separati $sigma(f)$ e $Sigma(f)$ sono contigui): in tal caso il vaolre comune dei due integrali si denota col simbolo $\int_a^b f(x)" d"x$ e si chiama integrale di $f$ esteso ad $[a,b]$.
________
*Per decomposizione di $[a,b]$ si intende un insieme finito $D={x_0,\ldots ,x_n}subset [a,b]$ che goda delle seguenti proprietà:
1) $quad |D|=n+1ge2$ (ossia $nge 1$);
2)$quad x_0=a$ ed $x_n=b$;
3) $quad AA n in {0,\ldots ,n-1}, quad x_i
L'insieme delle decomposizioni di $[a,b]$ sarà denotato col simbolo $bbD$.
Allora dopo il tuo post mi è venuto un dubbio e sono andato a controllare.
Esistono entrambe le cose in letteratura chiamate entrambe con lo stesso nome (viva l'originalità).
Quello che avevo definito io è la FUNZIONE INTEGRALE SUPERIORE (an. INFERIORE). E' importante perchè il TFC dice che l'integrale superiore è una primitiva della sua funzione argomento.
Quello che definisci tu è la somma integrale superiore (o inferiore) abbreviata con INTEGRALE SUPERIORE. Su alcuni libri viene chiamata anche INTEGRALE ESTERNO o SOMMA ESTERNA, (an INTERNO/A) e su altri semplicemente area del rettangoloide circoscritto (an. inscritto).
Ora, Darinter, vedi tu cosa ti serve.
Esistono entrambe le cose in letteratura chiamate entrambe con lo stesso nome (viva l'originalità).
Quello che avevo definito io è la FUNZIONE INTEGRALE SUPERIORE (an. INFERIORE). E' importante perchè il TFC dice che l'integrale superiore è una primitiva della sua funzione argomento.
Quello che definisci tu è la somma integrale superiore (o inferiore) abbreviata con INTEGRALE SUPERIORE. Su alcuni libri viene chiamata anche INTEGRALE ESTERNO o SOMMA ESTERNA, (an INTERNO/A) e su altri semplicemente area del rettangoloide circoscritto (an. inscritto).
Ora, Darinter, vedi tu cosa ti serve.
Somma integrale superiore/inferiore ed integrale superiore/inferiore sono cose diverse, come ho detto nel post precedente.
Perdonami gugo se ribatto. Come ho già detto in letteratura esistono 2 oggetti DIVERSI chiamati con lo stesso nome e non sono i 2 che definisci tu.
La differenza che sottolinei tu tra somma integrale superiore e integrale superiore, al di là del nome che questo o quell'autore preferiscono usare, è fittizia. Esiste infatti un famoso lemma secondo il quale per calcolare infΣ(f) e supσ(f) non è necessario considerare tutte le suddivisioni dell'intervallo di integrazione ma solo quelle equispaziate che costituiscono un insieme numerabile, praticamente una successione. Su questa si costruiscono le SOMME INTEGRALI superiori ed inferiori (2 successioni) ed i limiti di queste si indicano anche con INTEGRALE SUPERIORE e INFERIORE. D'altronde nel caso questi limiti esistano si può considerare la successione in N ampliato ove il concetto di limite all'infinito degenera nel valore della successione nel punto all'infinito (cfr. Piskunov) e quindi integrale superiore ed inferiore sono "l'ultima" somma integrale superiore e inferiore risp. Un altro modo di vederlo è di definire la somma integrale come quella riferita ad una suddivisione di [a,b] che sia in corrispondenza biunivoca con i punti di [a,b] (da cui la famosa storia che l'integrale è la somma delle "striscioline" di altezza f(x)) che poi porta alla notazione stessa che usiamo per l'integrale.
Poi alla fine vale il detto (noto ai tecnici) che la matematica non è un opinione ma la notazione sì. Forse tu hai studiato su un libro che io non ho e che usa nomi diversi. (Io di recente sono "impazzito" su una dispensa di algebra di non so che professore, trovata su internet, che chiamava abeliano di due elementi quello che io chiamo commutatore e pensavo fosse una cosa diversa, finchè ad eliminazione non mi sono convinto che fossero la stessa cosa). Sarei curioso di sapere però come chiami tu la funzione del teorema di torricelli-barrow. E' inutile quindi stare a battibeccare su quale sia la giusta definizione se non sappiamo in che contesto darinter abbia trovato questo oggetto.
Come ho già detto, darinter, vedi tu di quale definizione necessiti:
1) L'integrale superiore (o somma integrale superiore) è l'inf delle aree dei rettangoloidi circoscritti o analogamente il limite di questi sulle suddivisioni equispaziate.
oppure
2) L'integrale superiore (o funzione integrale superiore) è la funzione che associa ad x il valore dell'integrale definito tra a e x di f.
3) Ne scegli una tu che ti aggradi particolarmente...
Ps. Se ci dici dove e come l'hai trovato ti diciamo a cosa si riferisce ed evitiamo inutili spargimenti di sangue.
La differenza che sottolinei tu tra somma integrale superiore e integrale superiore, al di là del nome che questo o quell'autore preferiscono usare, è fittizia. Esiste infatti un famoso lemma secondo il quale per calcolare infΣ(f) e supσ(f) non è necessario considerare tutte le suddivisioni dell'intervallo di integrazione ma solo quelle equispaziate che costituiscono un insieme numerabile, praticamente una successione. Su questa si costruiscono le SOMME INTEGRALI superiori ed inferiori (2 successioni) ed i limiti di queste si indicano anche con INTEGRALE SUPERIORE e INFERIORE. D'altronde nel caso questi limiti esistano si può considerare la successione in N ampliato ove il concetto di limite all'infinito degenera nel valore della successione nel punto all'infinito (cfr. Piskunov) e quindi integrale superiore ed inferiore sono "l'ultima" somma integrale superiore e inferiore risp. Un altro modo di vederlo è di definire la somma integrale come quella riferita ad una suddivisione di [a,b] che sia in corrispondenza biunivoca con i punti di [a,b] (da cui la famosa storia che l'integrale è la somma delle "striscioline" di altezza f(x)) che poi porta alla notazione stessa che usiamo per l'integrale.
Poi alla fine vale il detto (noto ai tecnici) che la matematica non è un opinione ma la notazione sì. Forse tu hai studiato su un libro che io non ho e che usa nomi diversi. (Io di recente sono "impazzito" su una dispensa di algebra di non so che professore, trovata su internet, che chiamava abeliano di due elementi quello che io chiamo commutatore e pensavo fosse una cosa diversa, finchè ad eliminazione non mi sono convinto che fossero la stessa cosa). Sarei curioso di sapere però come chiami tu la funzione del teorema di torricelli-barrow. E' inutile quindi stare a battibeccare su quale sia la giusta definizione se non sappiamo in che contesto darinter abbia trovato questo oggetto.
Come ho già detto, darinter, vedi tu di quale definizione necessiti:
1) L'integrale superiore (o somma integrale superiore) è l'inf delle aree dei rettangoloidi circoscritti o analogamente il limite di questi sulle suddivisioni equispaziate.
oppure
2) L'integrale superiore (o funzione integrale superiore) è la funzione che associa ad x il valore dell'integrale definito tra a e x di f.
3) Ne scegli una tu che ti aggradi particolarmente...
Ps. Se ci dici dove e come l'hai trovato ti diciamo a cosa si riferisce ed evitiamo inutili spargimenti di sangue.
Mi riferivo alla somma integrale superiore e a quella inferiore.Grazie per le risposte.
p.s. Per caso sapete cos'è la "somma integrale di cauchy",altra cosa trovata sui miei appunti della quale il libro non porta traccia,nè su internet ho trovato qualcosa di utile.
p.s. Per caso sapete cos'è la "somma integrale di cauchy",altra cosa trovata sui miei appunti della quale il libro non porta traccia,nè su internet ho trovato qualcosa di utile.
Ma che esame stai preparando, analisi complessa?
Se no non so cosa possa essere.
Se no non so cosa possa essere.
"Megan00b":
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Analisi I
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