Integrale Superficiale
Ciao ragazzi , sto affrontando gli integrali superficiali , e negli esercizi , vedo che la parte più delicata è quella iniziale , ovvero quella di parametrizzare e sistemare il dominio della superficie , insomma , la parte che poi permetterà di impostare l'integrale. Il seguente esercizio dice:
Calcolare il seguente integrale superficiale : \( \int_{\Sigma }^{} (16xy)/(x^2+y^2)\, dS \) , quando la superficie \( \Sigma \) è individuata da: \( \Sigma \)={ \( (x,y,z)\epsilon R^3: z=x^2+y^2, 1\leq z \leq2 \) }.
Lo svolgimento mi dice che la superficie può essere riscritta come :
\( \Sigma = \) { \( (x,y,x^2+y^2):1\leq x^2+y^2\leq 2, x\geq 0,y\geq 0 \) } \( = \) { \( (r,t,r^2): r\epsilon [0,\sqrt{2]}, t\epsilon[0,\pi/2] \) }.
Si tratta ovviamente di una superficie regolare e la normale in ogni punto è data da : \( n=(-2x,-2y,1) \) , per cui \( dS=\sqrt{1+4(x^2+y^2)} \) .
E poi da qui viene fatto l'integrale. Volevo sapere come in questo caso ha cambiato la superficie e il perchè di \( r \) e \( t \) , e come trova gli intervalli . Grazie in Anticipo
Calcolare il seguente integrale superficiale : \( \int_{\Sigma }^{} (16xy)/(x^2+y^2)\, dS \) , quando la superficie \( \Sigma \) è individuata da: \( \Sigma \)={ \( (x,y,z)\epsilon R^3: z=x^2+y^2, 1\leq z \leq2 \) }.
Lo svolgimento mi dice che la superficie può essere riscritta come :
\( \Sigma = \) { \( (x,y,x^2+y^2):1\leq x^2+y^2\leq 2, x\geq 0,y\geq 0 \) } \( = \) { \( (r,t,r^2): r\epsilon [0,\sqrt{2]}, t\epsilon[0,\pi/2] \) }.
Si tratta ovviamente di una superficie regolare e la normale in ogni punto è data da : \( n=(-2x,-2y,1) \) , per cui \( dS=\sqrt{1+4(x^2+y^2)} \) .
E poi da qui viene fatto l'integrale. Volevo sapere come in questo caso ha cambiato la superficie e il perchè di \( r \) e \( t \) , e come trova gli intervalli . Grazie in Anticipo
Risposte
.
Già inizia ad essere più chiaro, però volevo chiederti altre 2 cose: la soluzione mi dice che la superficie (in coordinate presuppongo sferiche a questo punto) è uguale a : \( (r,t,r^2) \) , che è però diverso dalla tua , giusto? Vedo che tu hai scritto \( (u cos(v), u sin(v),u^2) \) che è diversa nel mio caso , perchè? Poi non capisco come trovare l'intervallo \( [0,\sqrt{2]} \) . Inoltre , ultima cosa , l'integrale nel mio caso non fa 0 , ti faccio vedere come viene impostato , che è leggermente diverso dal tuo , poi ometto i passaggi e scrivo il risultato:
$ int_(1)^(sqrt(2) ) r drint_(0)^(pi/2) (16r^2costsint)/r^2 sqrt(1+4r^2) dt $
Il cui risultato finale è: $ 18-10/3sqrt(5) $
Quindi non so se l'unica cosa che cambia è il $ dS $ . Inoltre, per calcolare la normale , quali valori devo prendere?
$ int_(1)^(sqrt(2) ) r drint_(0)^(pi/2) (16r^2costsint)/r^2 sqrt(1+4r^2) dt $
Il cui risultato finale è: $ 18-10/3sqrt(5) $
Quindi non so se l'unica cosa che cambia è il $ dS $ . Inoltre, per calcolare la normale , quali valori devo prendere?
Ciao Biagio2580,
Non direi, c'è qualcosa che non mi torna, perché secondo me ha parametrizzato come segue:
${(x = r cos t),(y = r sin t),(z = x^2 + y^2 = r^2):} $
Ora, siccome $0 \le z = x^2 + y^2 = r^2 \le 2 \implies 0 \le r \le \sqrt2 $, però allora non mi torna che hai scritto $1 \le z \le 2 $. Poi, dal fatto che $x \ge 0 $ e $y \ge 0 $ (che confermerebbe che $0 \le z \le 2 $) segue $t \in [0, \pi/2] $
"Biagio2580":
la soluzione mi dice che la superficie (in coordinate presuppongo sferiche a questo punto)
Non direi, c'è qualcosa che non mi torna, perché secondo me ha parametrizzato come segue:
${(x = r cos t),(y = r sin t),(z = x^2 + y^2 = r^2):} $
Ora, siccome $0 \le z = x^2 + y^2 = r^2 \le 2 \implies 0 \le r \le \sqrt2 $, però allora non mi torna che hai scritto $1 \le z \le 2 $. Poi, dal fatto che $x \ge 0 $ e $y \ge 0 $ (che confermerebbe che $0 \le z \le 2 $) segue $t \in [0, \pi/2] $
.
"sellacollesella":
Faccio solo notare che in principio richiedono:
[quote="Biagio2580"]Calcolare il seguente integrale superficiale : \( \int_{\Sigma }^{} (16xy)/(x^2+y^2)\, dS \) , quando la superficie \( \Sigma \) è individuata da: \( \Sigma \)={ \( (x,y,z)\epsilon R^3: z=x^2+y^2, 1\leq z \leq2 \) }.
allora ponendo \(x=r\cos(t)\) e \(y=r\sin(t)\), dove sappiamo essere \(r \ge 0\) e \(0 \le t < 2\pi\), dovendo anche essere \(z=x^2+y^2\) si ottiene \(z=r^2\) e dovendo anche essere \(1 \le z \le 2\) si ottiene \(1 \le r \le \sqrt{2}\).
D'altro canto, se poi scrivono:
"Biagio2580":
Lo svolgimento mi dice che la superficie può essere riscritta come :
\( \Sigma = \) { \( (x,y,x^2+y^2):1\leq x^2+y^2\leq 2, x\geq 0,y\geq 0 \) }.
ossia per pura magia impongano anche che \(x \ge 0\) e \(y \ge 0\), ossia \(r\cos(t) \ge 0\) e \(r\sin(t) \ge 0\), allora è altresì evidente che si ottenga l'intervallo \(0 \le t \le \frac{\pi}{2}\) e di conseguenza non risulta più \(I=0\) bensì \(I=18-\frac{10}{3}\sqrt{5}\).[/quote]
Errore mio , mi sono dimenticato di scrivere $ R_+^3 $ nell'insieme di definizione della superficie
.
"Biagio2580":
Errore mio, mi sono dimenticato di scrivere $\RR_{+}^3 $ nell'insieme di definizione della superficie
Sì, ma non è solo quello il problema, c'è proprio un conflitto di consegne: perché se scrivi che $x \ge 0 $ e $y \ge 0 $ e poi $1 \le z = x^2 + y^2 \le 2 $, quest'ultima con $x = y = 0 $ diventerebbe $1 \le 0 \le 2 $, che è falso. Quindi se sei sicuro di $1 \le z \le 2 $, allora sarà $x > 0 $ e $y > 0 $
Neanche con $x>0$ e $y>0$ è consistente: $1 \le x^2+y^2 \le 2$ risulta falsa ad esempio per $x=y=1/2$. Brancoliamo nel buio 
.
@Biagio2580: Questi argomenti appartengono alla stanza di analisi matematica di base: attenzione alla sezione la prossima volta. Per scrivere il simbolo "$\in$" di appartenenza insiemistica puoi usare il seguente codice:
.@Biagio2580: Questi argomenti appartengono alla stanza di analisi matematica di base: attenzione alla sezione la prossima volta. Per scrivere il simbolo "$\in$" di appartenenza insiemistica puoi usare il seguente codice:
\in
"Biagio2580":
Il cui risultato finale è: $18−10/3 \sqrt5 $
Se sei sicuro che questo sia il risultato finale, allora con la parametrizzazione che ho già scritto si ha $ 1 \le z = x^2 + y^2 = r^2 \le 2 \implies 1 \le r \le \sqrt2 $ e da $r cos t > 0 $ e $r sin t > 0 $ segue $t \in (0, \pi/2) $, sicché si ha:
$\int \int_{\Sigma } (16xy)/(x^2+y^2)\text{d}S = 16 \int\int_{1 \le x^2 + y^2 \le 2} (xy)/(x^2 + y^2) \sqrt{1 + 4(x^2 + y^2)} \text{d}x \text{d}y = $
$ = 16 \int_1^{\sqrt2} [\int_0^{\pi/2}(r^2 cost sint)/r^2 \text{d}t] \sqrt(1+4r^2) r\text{d}r = 16 \int_1^{\sqrt2} [\int_0^{\pi/2}cost sint \text{d}t] \sqrt(1+4r^2) r\text{d}r = $
$ = \int_1^{\sqrt2} \sqrt(1+4r^2) 8r\text{d}r = [2/3 (1+4r^2)^{3/2}]_1^{\sqrt2} = 2/3 [(1 + 8)^{3/2} - (1 + 4)^{3/2}] = 2/3 [27 - 5\sqrt5] = $
$ = 18 - 10/3 \sqrt5 $
"pilloeffe":
[quote="Biagio2580"]Il cui risultato finale è: $18−10/3 \sqrt5 $
Se sei sicuro che questo sia il risultato finale, allora con la parametrizzazione che ho già scritto si ha $ 1 \le z = x^2 + y^2 = r^2 \le 2 \implies 1 \le r \le \sqrt2 $ e da $r cos t > 0 $ e $r sin t > 0 $ segue $t \in (0, \pi/2) $, sicché si ha:
$\int \int_{\Sigma } (16xy)/(x^2+y^2)\text{d}S = 16 \int\int_{1 \le x^2 + y^2 \le 2} (xy)/(x^2 + y^2) \sqrt{1 + 4(x^2 + y^2)} \text{d}x \text{d}y = $
$ = 16 \int_1^{\sqrt2} [\int_0^{\pi/2}(r^2 cost sint)/r^2 \text{d}t] \sqrt(1+4r^2) r\text{d}r = 16 \int_1^{\sqrt2} [\int_0^{\pi/2}cost sint \text{d}t] \sqrt(1+4r^2) r\text{d}r = $
$ = \int_1^{\sqrt2} \sqrt(1+4r^2) 8r\text{d}r = [2/3 (1+4r^2)^{3/2}]_1^{\sqrt2} = 2/3 [(1 + 8)^{3/2} - (1 + 4)^{3/2}] = 2/3 [27 - 5\sqrt5] = $
$ = 18 - 10/3 \sqrt5 $[/quote]
pilloeffe , sono d'accordo con te , per questo ho chiesto chiarimenti , non mi tornava il fatto che ci fosse 0 nell'intervallo , quello che ho riportato è lo svolgimento dell'esercizio , non è il mio svolgimento. I vostri ragionamenti sono molto chiari e mi hanno aiutato molto , probabilmente sarà un'errore di battitura del testo credo , ma grazie veramente a tutti , ora è più chiaro!
Invece Ragazzi , colgo l'occasione per chiedere anche della parametrizzazione di questa superficie :
Ho che la superficie è data da : $ S{(x,y,z): x^2+y^2+z^2<=4, z=y} $. E mi dice che la parametrizzazione è data da :
$ { ( x=2cost ),( y=sqrt(2)sint ),( y=sqrt(2)sint ):}, t \in[0,2pi] $
Capisco ovviamente che le ultime due coordinate devono essere uguali , ma non capisco come mai sulla x ho 2 davanti al cos, mentre per y(e di conseguenza per z) ho la radice , di solito quella coordinata parametrizzata rappresenta il raggio della figura , cosa cambia in questo caso?
Ho che la superficie è data da : $ S{(x,y,z): x^2+y^2+z^2<=4, z=y} $. E mi dice che la parametrizzazione è data da :
$ { ( x=2cost ),( y=sqrt(2)sint ),( y=sqrt(2)sint ):}, t \in[0,2pi] $
Capisco ovviamente che le ultime due coordinate devono essere uguali , ma non capisco come mai sulla x ho 2 davanti al cos, mentre per y(e di conseguenza per z) ho la radice , di solito quella coordinata parametrizzata rappresenta il raggio della figura , cosa cambia in questo caso?
.
ma se avessi lasciato 4 e 2 sulla parametrizzazione sarebbe andato comunque bene ?( e comunque non capisco effettivamente perchè in questo esercizio , nello svolgimento , non venga presa ad esempio r come secondo parametro , ma si usi solo t)
.
Un'ultima cosa , dopo viene richiesto di calcolare l'integrale lungo la superficie utilizzando Stokes , il che implica che devo calcolare la normale . Mi è dato anche un campo di forze , oltre alla superficie che ho scritto prima , il campo di forze in questo caso è: $ F=(y+z,x+z,x+y) $. Poi la normale mi viene detto che è : $ (0,-1,1) $ .Non capisco se c'è una formula standard per calcolare la normale , per calcolarla , devo sempre usare la superficie o nel caso ci sia , il campo di forze ?
"sellacollesella":[/quote]
[quote="Biagio2580"]ma se avessi lasciato 4 e 2 sulla parametrizzazione sarebbe andato comunque bene ?
Sì, però a quel punto cambia il range in cui varia il parametro \(\rho\).
Non sarebbe comunque rimasto $ [0,1] $ ?
"sellacollesella":
non capisco come mai sulla x ho 2 davanti al cos, mentre per y(e di conseguenza per z) ho la radice
Beh, perché se hai $x^2+y^2+z^2<=4 $ e $z=y $, allora puoi sostituire $y$ a $z$ e ottieni:
$x^2 + y^2 + y^2 \le 4 $
$x^2 + 2y^2 \le 4 $
Quindi è logico che $x$ possa essere astutamente parametrizzata in modo che il coefficiente di $\rho $ sia $ 2 $ (in modo che al quadrato risulti $4$) mentre $y$ possa essere astutamente parametrizzata in modo che il coefficiente di $\rho $ sia $ \sqrt2 $ (in modo che al quadrato risulti $2$ e moltiplicato per il $2$ davanti a $y$ risulti di nuovo $4$). Poi è chiaro che se assumi $\rho = 1 $ ottieni ciò che hai scritto.
.
"sellacollesella":
Biagio, in tutta sincerità stai facendo il passo più lungo della gamba. Prima di avventurarti in applicazioni abbastanza articolate come potrebbero essere all'inizio i teoremi del rotore e della divergenza cerca di capire come si parametrizzano curve e superfici, perché tutto ruota attorno a tale operazione, poi viene il resto.
Il fatto che sopra l'intervallo in cui spazia \(\rho\) sia \([0,1]\) discende dalla risoluzione di un sistema di disequazioni. Sapresti indicare quale? Cerca di focalizzarti su questo, poi potrai alzare l'asticella con dell'altro.
Capisco quello che dici , effettivamente è vero , però sono cose che comunque sto affrontando e non avevo mai visto . Per quanto riguarda magari la parametrizzazione di segmenti ora mi è chiaro ad esempio , mentre per circonferenze ed ellissi ancora mi trovo in difficoltà , ma giusto nel manipolare inizialmente le 2 equazioni che definiscono la superfice. Stokes e il Teorema della Divergenza li sto studiando , quindi devo cercare di stare al passo e studiare anche queste cose . Alcuni esercizi mi restano più facili , altri più difficili , è normale credo , per questo chiedo intanto chiarimenti su altri argomenti. Grazie della disponibilità
.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo