Integrale Superficiale
Ciao ragazzi , sto affrontando gli integrali superficiali , e negli esercizi , vedo che la parte più delicata è quella iniziale , ovvero quella di parametrizzare e sistemare il dominio della superficie , insomma , la parte che poi permetterà di impostare l'integrale. Il seguente esercizio dice:
Calcolare il seguente integrale superficiale : \( \int_{\Sigma }^{} (16xy)/(x^2+y^2)\, dS \) , quando la superficie \( \Sigma \) è individuata da: \( \Sigma \)={ \( (x,y,z)\epsilon R^3: z=x^2+y^2, 1\leq z \leq2 \) }.
Lo svolgimento mi dice che la superficie può essere riscritta come :
\( \Sigma = \) { \( (x,y,x^2+y^2):1\leq x^2+y^2\leq 2, x\geq 0,y\geq 0 \) } \( = \) { \( (r,t,r^2): r\epsilon [0,\sqrt{2]}, t\epsilon[0,\pi/2] \) }.
Si tratta ovviamente di una superficie regolare e la normale in ogni punto è data da : \( n=(-2x,-2y,1) \) , per cui \( dS=\sqrt{1+4(x^2+y^2)} \) .
E poi da qui viene fatto l'integrale. Volevo sapere come in questo caso ha cambiato la superficie e il perchè di \( r \) e \( t \) , e come trova gli intervalli . Grazie in Anticipo
Calcolare il seguente integrale superficiale : \( \int_{\Sigma }^{} (16xy)/(x^2+y^2)\, dS \) , quando la superficie \( \Sigma \) è individuata da: \( \Sigma \)={ \( (x,y,z)\epsilon R^3: z=x^2+y^2, 1\leq z \leq2 \) }.
Lo svolgimento mi dice che la superficie può essere riscritta come :
\( \Sigma = \) { \( (x,y,x^2+y^2):1\leq x^2+y^2\leq 2, x\geq 0,y\geq 0 \) } \( = \) { \( (r,t,r^2): r\epsilon [0,\sqrt{2]}, t\epsilon[0,\pi/2] \) }.
Si tratta ovviamente di una superficie regolare e la normale in ogni punto è data da : \( n=(-2x,-2y,1) \) , per cui \( dS=\sqrt{1+4(x^2+y^2)} \) .
E poi da qui viene fatto l'integrale. Volevo sapere come in questo caso ha cambiato la superficie e il perchè di \( r \) e \( t \) , e come trova gli intervalli . Grazie in Anticipo
Risposte
"sellacollesella":
[quote="Biagio2580"]mentre per circonferenze ed ellissi ancora mi trovo in difficoltà
Allora, dato che per una ellisse con assi paralleli a quelli cartesiani si ha:\[
\frac{(x-x_c)^2}{a^2}+\frac{(y-y_c)^2}{b^2}\le 1
\quad \quad \Rightarrow \quad \quad
\begin{cases}
x = x_c+a\,\rho\cos\theta \\
y = y_c+b\,\rho\sin\theta \\
\end{cases}
\quad \quad \text{con} \; (\rho,\theta) \in [0,1] \times [0,2\pi)
\] sapresti dimostrare il perché siano corretti quegli intervalli?
[/quote]
Bhe in questo caso , visto che è il caso generale , avrò $ vartheta \in[0,2pi] $ perchè non avendo altre condizioni , posso considerare l'intero giro dell'ellisse , che appunto parte da 0 e può arrivare a massimo $ 2pi $ (Se avessi avuto altre condizioni , tipo di stare nel primo ottante , in quel caso il mio intervallo si sarebbe ridotto a $ pi/2 $ ) , mentre per quanto riguarda $ rho $ , se $ rho=0 $ , ci troviamo al centro dell'ellisse , mentre se $ rho=1 $, ci troviamo appunto sul "bordo" , se così lo vogliamo definire , e penso che sia dato dalla condizione $ <=1 $ , giusto?
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E questo lo comprendo , non capivo cosa intendessi per dimostrare, però questo che hai scritto tu mi è chiaro. Ma in questo modo i coefficenti $a$ e $b$ ,non si semplificano sempre ? Il che porta ad avere poi sempre $ rho^2 <=1 $ .
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Si si infatti capisco , ti ringrazio perchè comunque mi porti al ragionamento . Ad esempio , in questo caso , io non sapevo che l'ellisse avesse una parametrizzazione base di questo tipo . Infatti ti volevo chiedere , esiste una formula per parametrizzare per ogni figura geometrica ?( perchè in caso me le studio prima di fare gli esercizi, ora so quelle di circonferenza, ellisse e di un semplice segmento ).
Poi ti volevo chiedere appunto della Normale , che avevo scritto prima . Grazie !!!
Poi ti volevo chiedere appunto della Normale , che avevo scritto prima . Grazie !!!
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Quindi nel caso "base" devo parametrizzare e andare a fare la matrice con le derivate prime di $ u $ e $ v $, calcolandone il determinante , giusto? Il caso particolare lo ho capito , ed era anche su questo esercizio effettivamente. Quindi devo guardare sempre l'equazione della superficie giusto?
Biagio2580,
Scusami, ma vorrei farti notare che nello stesso thread siamo passati dall'Integrale Superficiale (titolo dell'OP) alla parametrizzazione delle curve/superfici al teorema di Stokes: almeno per il futuro, potresti cortesemente aprire un post per ogni argomento? Grazie!
Scusami, ma vorrei farti notare che nello stesso thread siamo passati dall'Integrale Superficiale (titolo dell'OP) alla parametrizzazione delle curve/superfici al teorema di Stokes: almeno per il futuro, potresti cortesemente aprire un post per ogni argomento? Grazie!
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Considera nella maggior parte degli esercizi ho quasi sempre la z che è poi una funzione di x e y , quindi spesso si ricorre alla seconda notazione. Grazie ancora!!!
"pilloeffe":
Biagio2580,
Scusami, ma vorrei farti notare che nello stesso thread siamo passati dall'Integrale Superficiale (titolo dell'OP) alla parametrizzazione delle curve/superfici al teorema di Stokes: almeno per il futuro, potresti cortesemente aprire un post per ogni argomento? Grazie!
Si chiedo scusa
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