Integrale su un quadrilatero. Aiuto, non è facile
[size=150]Data la funzione $f(x, y) = 2xe^y$, calcolare l’integrale della funzione sul quadrilatero chiuso di vertici:
(−1, 0), (0, 0), (0, 1), (1, 1).[/size]
Io avevo pensato: (
)
$2*int_0^1 ( int_0^y ( 2xe^y)dx)dy$
Aiutatemi perfavore, voglio capirlo e non ho la soluzione...
(−1, 0), (0, 0), (0, 1), (1, 1).[/size]
Io avevo pensato: (
)$2*int_0^1 ( int_0^y ( 2xe^y)dx)dy$
Aiutatemi perfavore, voglio capirlo e non ho la soluzione...
Risposte
scusa fioravante,in che senso
una appropriata simmetria della funzione integranda ?
illuminani,ho bisogno di un po' di teoria "applicata"...
una appropriata simmetria della funzione integranda ?
illuminani,ho bisogno di un po' di teoria "applicata"...
"ing.mecc":
eh si, con un po' di attenzione subito si palesano le stupidaggini che ho scritto
ma volendolo vedere come un dominio normale rispetto ad x, come si fa?
questo parallelogrammo nn è normale rispetto ad x?
sembrerebbe di no,altrimenti quei triangolini compaiono sempre...
è un dominio normale rispetto a $x$
solo che la funzione "sotto" e quella "sopra" sono fatte "a pezzi" (non hanno una espressione analitica che eviti l'uso di valori assoluti o parenti stretti)
e, allora, tanto vale spezzare in due il dominio come fatto da Camillo
comunque, volendo, è:
$int_(-1)^1 ( int_(f(x))^(g(x)) ($pipiripì$) dy )dx$
dove:
$f(x) = 0$ fra -1 e 0 e $f(x) = x$ tra 0 e 1
$g(x) = x+1$ fra -1 e 0 e $g(x) = 1$ tra 0 e 1
Io, da ignorante, la simmetria che vedevo era geometrica, ho pensato che l'area di dx fosse la stessa di quella di sx. Ma ora non vedo la simmetria del dominio. Per capire meglio dovrei provare a vedere se il risultato del primo metodo è == al secondo.
"ing.mecc":
scusa fioravante,in che senso
una appropriata simmetria della funzione integranda ?
illuminani,ho bisogno di un po' di teoria "applicata"...
è Giova411 che deve togliere queste castagne dal fuoco
se domani le trovo bruciate...
"Giova411":
Io, da ignorante, la simmetria che vedevo era geometrica, ho pensato che l'area di dx fosse la stessa di quella di sx. Ma ora non vedo la simmetria del dominio. Per capire meglio dovrei provare a vedere se il risultato del primo metodo è == al secondo.
se fosse l'area, la simmetria è ovvia e certo l'area di 2 triangolini uguali è il doppio di ciascuno...
è che non devi calcolare un'area, ma un integrale
puoi sbizzarrirti a usare le simmetrie appropriate nell'integrale doppio o negli integrali iterati
scegli pure tu la strada da seguire
io aspetto (domani mattina)
Non ho simmetria nel dominio in questo caso, almeno mi sembra così ora... Ma son confuso...
dai, una bella dormita
poi domani ci puoi ripensare con tranquillità (se vuoi)
tanto, fino a domani sera non avrò tempo da poter dedicare la forum...
ciao
poi domani ci puoi ripensare con tranquillità (se vuoi)
tanto, fino a domani sera non avrò tempo da poter dedicare la forum...
ciao
Mi sa che le brucio ste castagne... (sarà perché studio gli integrali doppi da solo 2 giorni...)
Ci sto pensando, avevo già avuto dei dubbi sulla simmetria.... Forse riguarda la tipologia dell'integrale doppio. In questo caso non posso invertire i metodi di integrazione.
Mi viene:
$3-e$ se applico $int_0^1 ( int_(y-1)^y ( 2xe^y)dx)dy$
$2e-4$ se applico $2*int_0^1 ( int_0^y ( 2xe^y)dx)dy$
Ci sto pensando, avevo già avuto dei dubbi sulla simmetria.... Forse riguarda la tipologia dell'integrale doppio. In questo caso non posso invertire i metodi di integrazione.
Mi viene:
$3-e$ se applico $int_0^1 ( int_(y-1)^y ( 2xe^y)dx)dy$
$2e-4$ se applico $2*int_0^1 ( int_0^y ( 2xe^y)dx)dy$
Perché provando quello di Camillo:
$int_(-1)^0(int_0^(x+1) (2xe^y)dy)dx + int_(0)^1(int_x^(1) (2xe^y)dy)dx $ mi risulta: $7-3e$
Tre risultati diversi... (Sul risultato del primo $3-e$ son sicuro perché ho ricontrollato, gli altri due no)
Vado a dormì
$int_(-1)^0(int_0^(x+1) (2xe^y)dy)dx + int_(0)^1(int_x^(1) (2xe^y)dy)dx $ mi risulta: $7-3e$
Tre risultati diversi... (Sul risultato del primo $3-e$ son sicuro perché ho ricontrollato, gli altri due no)
Vado a dormì
Non riuscivo a dormì. 
Provando questo:
$int_(-1)^0(int_0^(x+1) (2xe^y)dy)dx + int_(0)^1(int_0^(y) (2xe^y)dx)dy $ mi risulta: $3-e$
So, quindi, che l'altro: $[ 2*int_0^1 ( int_0^y ( 2xe^y)dx)dy ]$ NON è corretto!
Perché non ho una simmetria rispetto al dominio dato.
(ad es: per un vertice (1,1) dovrei avere un vertice (-1,-1), e così via... per tutti i vertici per poter avere una simmetria )
MA NON SONO SICURO (sai che novità
)
Ingegné tu che dici?
Vado a dormì?
Provando questo:
$int_(-1)^0(int_0^(x+1) (2xe^y)dy)dx + int_(0)^1(int_0^(y) (2xe^y)dx)dy $ mi risulta: $3-e$
So, quindi, che l'altro: $[ 2*int_0^1 ( int_0^y ( 2xe^y)dx)dy ]$ NON è corretto!
Perché non ho una simmetria rispetto al dominio dato.
(ad es: per un vertice (1,1) dovrei avere un vertice (-1,-1), e così via... per tutti i vertici per poter avere una simmetria )
MA NON SONO SICURO (sai che novità
)Ingegné tu che dici?
Vado a dormì?
Il metodo più semplice mi sembra con un solo integrale :
$int_0^1( int_(y-1)^y (2xe^y)*dx)dy $ con risultato $ 3-e $ .
E' giustificato dal fatto che il dominio è normale all'asse x .
$int_0^1( int_(y-1)^y (2xe^y)*dx)dy $ con risultato $ 3-e $ .
E' giustificato dal fatto che il dominio è normale all'asse x .
Camillo ma cosa significa "normale all'asse x"? Ancora non riesco a capirlo. (scusatemi!)
Un dominio E si dice normale rispetto all'asse x se può essere rappresentato come :
$E ={(x,y) in RR^2 : a<=y<=b ; phi_1(y) <= x <=phi_2(y)} $.
Le rette parallele all'asse x ( comprese ovviamente tra a e b ) incontrano ciascuna delle due curve $phi_1(y) , phi_2(y) $ in un solo punto ciascuna .
Se la funzione da integrare nel dominio E è $f(x,y) $ allora sarà :
$int_E f(x,y)dx*dy = int_a^b[int_(phi_1(y))^(phi_2(y)) f(x,y)dx]dy $.
Naturalmente nel caso più comune che il dominio E sia normale rispetto all'asse y vuol dire che può essere rappresentato così :
$E={(x,y) in RR^2 : a<= x<= b; phi_1(x)<=y<= phi_2(x)} $.
Le rette parallelel all'asse y ( comprese tra a e b ) tagliano ciascuna curva in solo punto ciascuna.
Se la funzione da integrare in E è sempre $ f(x,y) $ allora si ha :
$int_E f(x,y)dx*dy = int_a^b[int_(phi_1(x))^(phi_2(x)) f(x,y) dy] dx $.
Ovvio che un bel disegnino ( da cui mi astengo ) chiarirebbe tutto in modo semplice .
Si è quindi potuto in entrambi i casi di dominio normale rispetto a x oppure rispetto ad y, ricondurre il calcolo dell'integrale doppio a quello di due integrali in una variabile.
Quando il dominio non è normale nè rispetto ad x , nè rispetto ad y allora spesso conviene ricorrere al cambiamento di variabili ; il più utile è quello di passare a coordinate polari cercando di riportarsi ai casi di normalità nelle nuove variabili .
$E ={(x,y) in RR^2 : a<=y<=b ; phi_1(y) <= x <=phi_2(y)} $.
Le rette parallele all'asse x ( comprese ovviamente tra a e b ) incontrano ciascuna delle due curve $phi_1(y) , phi_2(y) $ in un solo punto ciascuna .
Se la funzione da integrare nel dominio E è $f(x,y) $ allora sarà :
$int_E f(x,y)dx*dy = int_a^b[int_(phi_1(y))^(phi_2(y)) f(x,y)dx]dy $.
Naturalmente nel caso più comune che il dominio E sia normale rispetto all'asse y vuol dire che può essere rappresentato così :
$E={(x,y) in RR^2 : a<= x<= b; phi_1(x)<=y<= phi_2(x)} $.
Le rette parallelel all'asse y ( comprese tra a e b ) tagliano ciascuna curva in solo punto ciascuna.
Se la funzione da integrare in E è sempre $ f(x,y) $ allora si ha :
$int_E f(x,y)dx*dy = int_a^b[int_(phi_1(x))^(phi_2(x)) f(x,y) dy] dx $.
Ovvio che un bel disegnino ( da cui mi astengo ) chiarirebbe tutto in modo semplice .
Si è quindi potuto in entrambi i casi di dominio normale rispetto a x oppure rispetto ad y, ricondurre il calcolo dell'integrale doppio a quello di due integrali in una variabile.
Quando il dominio non è normale nè rispetto ad x , nè rispetto ad y allora spesso conviene ricorrere al cambiamento di variabili ; il più utile è quello di passare a coordinate polari cercando di riportarsi ai casi di normalità nelle nuove variabili .
Mi hai tolto le castagne dal fuoco....
Non posso chiedere di più... Grazie per la spiegazione e la pazienza che tende a ($+oo$)...
Non posso chiedere di più... Grazie per la spiegazione e la pazienza che tende a ($+oo$)...
Studi informatica dove ?
A Trento, alla facoltà di MM FF NN... Ma vivo a Bolzano... 
(Mi mancano 2 esami!!!! Speriamo di finire! 
)
(Mi mancano 2 esami!!!! Speriamo di finire! )
"Giova411":
[size=150]Data la funzione $f(x, y) = 2xe^y$, calcolare l’integrale della funzione sul quadrilatero chiuso di vertici:
(−1, 0), (0, 0), (0, 1), (1, 1).[/size]
Aiutatemi perfavore, voglio capirlo e non ho la soluzione...
Forse ho trovato il valore dell'integrale; innanzitutto ho pensato di riscrivere il dominio $D=AcupB$ con:
$A={(x,y)inmathbb{R}^2:-1<=x<=0 , 0<=y<=x+1}$
$B={(x,y)inmathbb{R}^2:0<=x<=1 , x<=y<=1}$
Ora calcolo l'integrale sui due insiemi:
$int_A2xe^ydxdy=int_(-1)^0{int_0^(x+1)2xe^ydy}dx=int_(-1)^(0)2x[e^y]_0^(x+1)dx=int_(-1)^(0)2xe^(x+1)dx-int_(-1)^(0)2xdx=[2xe^(x+1)]_(-1)^0-int_(-1)^(0)2e^(x+1)dx-[x^2/2]_(-1)^0=2-2[e^(x+1)]_(-1)^0-1/2=7/2-2e$
$int_B2xe^ydxdy=int_0^1{int_x^(1)2xe^ydy}dx=int_0^(1)2x[e^y]_x^1dx=int_0^(1)2exdx -int_0^(1)2xe^xdx=e[x^2/2]_0^1-{[2xe^x]_0^1-int_0^(1)2e^xdx}=e/2-2e+2[e^x]_0^1=e/2-2$
Ora sapendo che $AcapB$ è vuoto, posso sommare i due integrali ottendo il risultato:
$int_D2xe^xdxdy=int_A2xe^ydxdy+int_B2xe^ydxdy=7/2-2e+e/2-2=3/2(e-1)$
Se trovate le soluzioni fatemi sapere se è giusto.
"Giova411":
A Trento, alla facoltà di MM FF NN... Ma vivo a Bolzano...
Alles Gute !
Ciao fabry1985mi!
E' stato trovato con questo risultato:
Danke,
auch ich wùnsche dir alles gute!
(non studio tedesco da qualche anno...)
E' stato trovato con questo risultato:
"Camillo":
Il metodo più semplice mi sembra con un solo integrale :
$int_0^1( int_(y-1)^y (2xe^y)*dx)dy $ con risultato $ 3-e $ .
E' giustificato dal fatto che il dominio è normale all'asse x .
"Camillo":
Alles Gute !
Danke,
auch ich wùnsche dir alles gute!
(non studio tedesco da qualche anno...)
Io non l'ho mai studiato il tedesco e infatti non lo so; andando però da molti anni in vacanza in AltoAdige sia d'estate che d'inverno, qualche parola mi è entrata in testa, specialmente quelle mangerecce e beverecce ... 
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