Integrale su corona circolare

[astrolabio95]

Ho il seguente esercizio...

$ int int_(D)xy dx dy $ con $ D={(x,y) in mathbb(R^2)| 1<=x^2+y^2<=16, 0<=x<=1, y>=0} $

Considerato integrale e dominio ho effettuato un passaggio a coordinate polari:

$ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosintheta ):} $ e $ { ( 0<=theta<=pi/2 ),( rho>=0 ):} $ e ovviamente lo jacobiano della trasformazione $ rho $

Dunque, riscrivendo il dominio si ha $ { (1<=rho^2<=16 ),( 0<=rhocostheta<=1 ),( rhosintheta>=0 ):} $ che diventa $ { (1<=rho<=4 ),( 0<=rhocostheta<=1 ),( rhosintheta>=0 ):} $ ora cosa faccio?
Studio le altre condizioni non " tenendo conto" di $ rho $?

Grazie a tutti

[Lo_zio_Tom]

è molto semplice....basta che ragioni sulle condizioni....vuoi provare da solo o ti devo dare un aiuto?

[Lo_zio_Tom]

${{: ( costheta>0 ),( sentheta>0 ),( rho<1/costheta ),( 1

ciò evidentemente implica anche che devono essere verificate entrambe le seguenti:


${{: ( rho<1/costheta ),( rho<4 ) :}$



quindi....

[astrolabio95]

Quindi si usa la funzione minimo in questo caso?

[Lo_zio_Tom]

esattamente!


$rho
ora però mi accorgo di non saper trovare $costheta>1/4$.....quindi penso che l'angolo debba essere lasciato come funzione inversa

[astrolabio95]

Ecco, allora finalmente ho forse capito! Ti ringrazio!!

[astrolabio95]

"tommik":esattamente!


$rho
ora però mi accorgo di non saper trovare $costheta>1/4$.....quindi penso che l'angolo debba essere lasciato come funzione inversa

Ho un altro esercizio che mi sta mandando al manicomio..

Allora $ int int _(D) xy^2 dx dy $ su $ D={(x,y) in mathbb(R^2)| x^2+y^2<=4, y>=-1, x>=0} $ facendo il disegno ho notato che D occupa IV e I quadrante quindi ho posto, passando a polari, $ -pi/2<=theta<=pi/2 $. Dunque le condizioni diventano:

$ { ( rho^2<=4 ),( rhosintheta> -1 ),( rhocostheta>0 ):} $ e quindi $ { ( 0<=rho<=2 ),( rho> -1/sintheta ),( costheta>0 ):} $ e siccome il coseno in quell'intervallo è sempre positivo allora $ { ( 0<=rho<=2 ),( rho> -1/sintheta ):} $ giusto?

Quindi adesso devo solo capire quando $ max{-1/sintheta;0}<=rho<=2 $ ?

[Lo_zio_Tom]

boh a me questo [strike]sembra[/strike] sembrava semplice


${{: ( rho<2 ),( rhosentheta> -1 ),( rhocostheta>0 ) :}rarr{{: ( costheta>0 ),( -1/(sentheta)

a cui bisogna aggiungere una condizione su $sentheta$ in modo che $-1/(sentheta)<2$

[astrolabio95]

Verrebbe una figura del genere..

[Lo_zio_Tom]

può essere così??

$[-pi/2

????

[astrolabio95]

A me pare che in alcuni tratti della figura sia $ -1/sintheta<=rho<=0 $..

[Lo_zio_Tom]

$rho>0$, per definizione

se guardi il mio intervallo mi pare che funzioni tutto....mi pare..

[astrolabio95]

Allora avevo sbagliato tutto

[Lo_zio_Tom]

"tommik":

${{: ( costheta>0 ),( -1/(sentheta)

la condizione $costheta>0 rarr [-pi/2

la seconda condizione, se $0
il problema è quando il seno è negativo e molto piccolo e quindi escludiamo l'intervallo $(-pi/6

a me pare funzionare bene.....che dici?

[Lo_zio_Tom]

quindi riepilogando abbiamo:


$int_(-1/(sentheta))^(2)int_(-pi/2)^(-pi/6)....drhod theta+int_(0)^(2)int_(0)^(pi/2)....drhod theta$

[astrolabio95]

Gli estremi del secondo integrale al primo membro non dovrebbero essere da $-pi/2 $ a zero? Il fatto è che non riesco a capire dove il abbia sbagliato

[Lo_zio_Tom]

non capisco quale tu intenda...a me pare giusto

[Lo_zio_Tom]

quando $0

quando invece $theta<0$ allora abbiamo problemi se $theta in (-pi/6;0)$


abbiamo detto che $-1/(sentheta)2$

fai una prova..prendi ad esempio $theta=-pi/8$ e vedi....


ti è chiaro?

[astrolabio95]

Sì, il fatto è che quando leggo le spiegazioni capisco ma all'atto pratico mi blocco sempre...

[Lo_zio_Tom]

Prova a studiare la funzione $ rho=-1/(sintheta) $ nell'intervallo $-pi/2

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[astrolabio95]

"tommik":Prova a studiare la funzione $ rho=-1/(sintheta) $ nell'intervallo $-pi/2
Ci ho rinunciato, farò altro