Integrale su corona circolare

[astrolabio95]

Ho il seguente esercizio...

$ int int_(D)xy dx dy $ con $ D={(x,y) in mathbb(R^2)| 1<=x^2+y^2<=16, 0<=x<=1, y>=0} $

Considerato integrale e dominio ho effettuato un passaggio a coordinate polari:

$ { ( x=rhocostheta ),( y=rhosintheta ):} $ e $ { ( 0<=theta<=pi/2 ),( rho>=0 ):} $ e ovviamente lo jacobiano della trasformazione $ rho $

Dunque, riscrivendo il dominio si ha $ { (1<=rho^2<=16 ),( 0<=rhocostheta<=1 ),( rhosintheta>=0 ):} $ che diventa $ { (1<=rho<=4 ),( 0<=rhocostheta<=1 ),( rhosintheta>=0 ):} $ ora cosa faccio?
Studio le altre condizioni non " tenendo conto" di $ rho $?

Grazie a tutti

[Lo_zio_Tom]

come vuoi ma guarda che non è difficile....basta prenderci un po' confidenza

Se fai il grafico ti accorgi che il dominio è il seguente



quindi è facile intuire che il dominio vada diviso in due parti:

1) la parte grigia è semplicissima ed è questa

$int_(0)^(2)int_(0)^(pi/2).....d rho d theta$

[Lo_zio_Tom]

per la parte rossa (angolo che va da $[-pi/2; 0]$ usiamo la condizione precedentemente trovata

$-1/(sintheta)
e per capire l'angolo da usare facciamo il grafico della funzione $-1/(sentheta)$



che come puoi vedere è minore di 2 in $[-pi/2;-pi/6]$

e quindi l'integrale viene

$int_(-1/(sentheta))^(2)int_(-pi/2)^(-pi/6)....d rho d theta$


tutto qui

[astrolabio95]

"tommik":per la parte rossa (angolo che va da $[-pi/2; 0]$ usiamo la condizione precedentemente trovata

$-1/(sintheta)
e per capire l'angolo da usare facciamo il grafico della funzione $-1/(sentheta)$



che come puoi vedere è minore di 2 in $[-pi/2;-pi/6]$

e quindi l'integrale viene

$int_(-1/(sentheta))^(2)int_(-pi/2)^(-pi/6)....d rho d theta$


tutto qui

Sei stato davvero gentilissimo, ci sto provando e riprovando e qualcosina mi viene mentre qualcosa no (ho pubblicato un altro argomento su questo in mattinata). Il fatto è che molte volte la limitazione che do all'angolo mi blocca tutto il procedimento e non so come andare avanti