Integrale strano

[Sk_Anonymous]

è da troppo tempo che sto dietro a questo integrale ma non riesco a risolverlo...

$int_{0}^{pi}sqrt(1+theta^2)d theta$ che "dovrebbe fare" $pi^2/2$ o $pi^2/4$

nel mio precedente post ( https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=10397 ) mi era stata consigliata una sostituzione che non mi permette di arrivare al risultato (derive 6 dice che l'integrale fa infinito!!!)

mi potete aiutare?....non ci riesco in nessun modo

grazie

ps postate tutti i passaggi perfavore

[_luca.barletta]

Sostituzione $theta=Sh(t)$ con $d theta=Ch(t)dt$, si ha che:

$int_0^(arcSh(pi)) sqrt(1+Sh^2(t)) Ch(t) dt = int_0^(arcSh(pi)) Ch^2(t) dt = int_0^(arcSh(pi)) ((e^t+e^(-t))/2)^2dt = 1/4[e^(2t)/2-e^(-2t)/2+2t]_0^(arcSh(pi))=1/2[Sh^2(t)+t]_0^(arcSh(pi)) =$
$= pi^2/2+(arcSh(pi))/2$

[Sk_Anonymous]

mmmm....strano

in realtà l'integrale salta fuori dal seguente problema

dimostrare che per $a>1$ la lunghezza della curva $rho=a theta$ con $0<=theta<=pi$ è maggiore di $pi^2/2$

io ho fatto $rho'=a$ da cui $L(gamma)=aint_{0}^{pi}sqrt(1+theta^2)d theta$

[Sk_Anonymous]

ma ance per $a=1$

$L(gamma)=(pi^2/2+(arcSh(pi))/2)>pi^2/2$

[Sk_Anonymous]

il mio errore era qui $int_0^(arcSh(pi)) ((e^t+e^(-t))/2)^2dt$

lasciavo $cosh^2$ e non riuscivo a venirne fuori vivo....


grazie per l'aiuto

ciao

[Sk_Anonymous]

scusa luca se t rompo ancora ma non è che potresti dare uno sguardo a questo integrale

https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=10397

t vedo molto + ferrato d me

[_luca.barletta]

Prima sostituzione: $ rho^2=t$ ottieni $piint_0^1 sqrt(1+9t^2)dt$.
Seconda sostituzione: $ 3t=Sh(x)$ con $dt=1/3Ch(x)dx$ ottieni $pi/3int_0^(arcSh(3)) sqrt(1+Sh^2(x))Ch(x)dx = ...$
$ = pi/6 (9+arcSh(3))$

[Sk_Anonymous]

grazie...io però intendevo col cambiamento di variabile $sqrt(1+9t^2)=x-3t$....lo so sono un rompi....

se non ti va lascia stare...


grazie

ciao