Integrale per sostituzione

[kioccolatino90]

ciao a tutti, ho un integrale che non riesco a trovare la soluzione nonostante che ci sia vicino, l'integrale è:

$int sqrt(x^2+5)dx$ che lo risolvo effettuando la sostituzione $x=sqrt5 sinht$$ rarr$ $dx=sqrt5 cosht dt$ inoltre $sinht= x/sqrt5$ e $t= arcsinh(x/sqrt5)$; dopo alcune operazioni giungo a:

$int sqrt(x^2+5)dx=$ $int sqrt5 sqrt(5+5sinh^2t)*cosht dt = $ $5 int cosh^2t dt=5/2t+5/2sinht*cosht +C$...

però adesso non riesco a trovare la soluzione, vado a sostituire e trovo:

$5/2arcsinh(x/sqrt5)+ 5/2sinh(arcsinh(x/sqrt5))cosh(arcsinh(x/sqrt5))$ + C...e non riesco a continuare, come posso fare?
quello che non mi è chiaro è il secondo addendo, non capisaco come si toglie....

[Obidream]

Io invece proverei a procedere in questo modo...

$\int 1*sqrt(x^2+5)dx$

Integrando per parti:

$\int 1*sqrt(x^2+5)dx=xsqrt(x^2+5)-\int x^2/sqrt(x^2+5)dx$

$\int 1*sqrt(x^2+5)dx=xsqrt(x^2+5)-\int (x^2+5-5)/sqrt(x^2+5)dx$

$\int 1*sqrt(x^2+5)dx=xsqrt(x^2+5)-\int sqrt(x^2+5)dx+5\int 1/sqrt(x^2+5)dx$

$2\int sqrt(x^2+5)dx=xsqrt(x^2+5)+5log(sqrt(x^2+5)+x)+c$

$\int sqrt(x^2+5)dx=1/2(xsqrt(x^2+5)+5log(sqrt(x^2+5)+x))+c$


Ho sfruttato l'integrale notevole: $\int 1/sqrt(x^2+-a^2)dx=log|x+sqrt(x^2+-a^2)|+c$

[Raptorista1]

Alternativamente, che si adatta perfettamente al tuo procedimento, usi una nota relazione per dire che
\[
\frac{t + \sinh t \cosh t}{2} = \frac{t}{2} + \frac{\sinh 2t}{4} = \frac{1}{2}\sinh^{-1} \frac{2x}{\sqrt{5}} + \frac{1}{4}\sinh \sinh^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}} = \dots
\]

[kioccolatino90]

ti riferisci alla relazione che $sinh^-1x= ln(x+sqrt(x^2+1))$????

[Raptorista1]

Quella è l'espressione analitica del settore seno iperbolico, ma io pensavo a qualcosa di molto più semplice:
\[
\sinh 2x = 2 \sinh x \cosh x.
\]

[kioccolatino90]

ah si scusami non avevo intuito che già l'avevi detta la relazione, pensavo a una relazione per continuare questa:

$1/2sinh^-1(2x)/sqrt5+1/4sinhsinh^(-1)x/sqrt5$...

comunque io dalla scrittura di sopra devo trovare questo risultato:

$5/2ln(x+sqrt(5+x^2))-5/4ln5 +x/2sqrt(5+x^2) + C$ fin ora ho trovato che:

$5/2t= sinh^(-1)x/sqrt5=$ $5/2ln(x/sqrt5 + sqrt(x^2/5+1))=$ $5/2ln((x + sqrt(x^2+1))/sqrt5)=$ $5/2ln(x+sqrt(5+x^2))-5/4ln5$

però non so da dove esce fuori quella $x/2sqrt(5+x^2)$ sto tentando ma senza risultato, dove sto sbagliando?