Integrale operazione inversa della differenziazione più che.
Se io prendo per esempio questa funzione: $f(x)=senx$, e ne calcolo il differenziale trovo:$df=cosxdx$. Ma allora integrando verrebbe:$intcosxdx=senx(+c)$. Ma allora parlando di integrali indefiniti l' operatore di integrale sembrerebbe l' inversa dell' operazione di differenziazione, cioè, non proprio di derivazione. In pratica stavo cercando di formulare mie ipotesi riguardo a quel simbolo di differenziale nell' integrale indefinito. Nel definito invece il concetto è più chiaro, cioè, il $dx$ rappresenta la base infinitesimale degli infiniti rettangolini. Ma per quanto riguarda l' indefinito c'è qualcuno che può chiarirmi questo dubbio? cioè, da quello che ho studiato la differenziazione non equivale alla derivazione.
Risposte
Riguardo l'operazione di differenziazione, volendo si potrebbe vedere come dici tu. Anzi, probabilmente in passato c'era chi dava veste formale alle tue intuizioni. Oggi però l'approccio alla teoria della differenziazione è completamente diverso e questi simboli $dx$ sono rimasti così più che altro per continuità con il passato.
Nella formulazione moderna il simbolo di integrale indefinito è tale solo per ricordare l'analogia, nelle manipolazioni formali, con l'integrale definito: ad esempio la formula di cambiamento di variabile è la stessa nei due tipi di integrale. In particolare il simbolo $dx$ nell'integrale indefinito è meramente un segnaposto che serve a ricordarci rispetto a quale variabile si sta integrando, cosa utile nel caso di espressioni dipendenti da più variabili:
$int (x^2+t)dt=tx^2+(t^2)/2+ C;$
$int(x^2+t)dx=x^3/3+tx+C$.
Personalmente abolirei il simbolo di integrale indefinito. E' fuorviante e ambiguo, specialmente in chi è agli inizi. Ma è anche molto usato, quindi tocca adeguarsi.
Nella formulazione moderna il simbolo di integrale indefinito è tale solo per ricordare l'analogia, nelle manipolazioni formali, con l'integrale definito: ad esempio la formula di cambiamento di variabile è la stessa nei due tipi di integrale. In particolare il simbolo $dx$ nell'integrale indefinito è meramente un segnaposto che serve a ricordarci rispetto a quale variabile si sta integrando, cosa utile nel caso di espressioni dipendenti da più variabili:
$int (x^2+t)dt=tx^2+(t^2)/2+ C;$
$int(x^2+t)dx=x^3/3+tx+C$.
Personalmente abolirei il simbolo di integrale indefinito. E' fuorviante e ambiguo, specialmente in chi è agli inizi. Ma è anche molto usato, quindi tocca adeguarsi.
"dissonance":
Riguardo l'operazione di differenziazione, volendo si potrebbe vedere come dici tu. Anzi, probabilmente in passato c'era chi dava veste formale alle tue intuizioni. Oggi però l'approccio alla teoria della differenziazione è completamente diverso e questi simboli $dx$ sono rimasti così più che altro per continuità con il passato.
Nella formulazione moderna il simbolo di integrale indefinito è tale solo per ricordare l'analogia, nelle manipolazioni formali, con l'integrale definito: ad esempio la formula di cambiamento di variabile è la stessa nei due tipi di integrale. In particolare il simbolo $dx$ nell'integrale indefinito è meramente un segnaposto che serve a ricordarci rispetto a quale variabile si sta integrando, cosa utile nel caso di espressioni dipendenti da più variabili:
$int (x^2+t)dt=tx^2+(t^2)/2+ C;$
$int(x^2+t)dx=x^3/3+tx+C$.
Personalmente abolirei il simbolo di integrale indefinito. E' fuorviante e ambiguo, specialmente in chi è agli inizi. Ma è anche molto usato, quindi tocca adeguarsi.
grazie per l' esauriente risposta
comunque, mi è sorto quest' altro dubbio/ipotesi: se io esprimessi l' integrale indefinito come:$intf(x)Dx$ anzichè $intf(x)dx$ non sarebbe più giusto? visto che è l' operazione inversa di derivazione, non capisco ancora appieno il significato di quel differenziale
con $d$ intendo differenziale e $D$ derivata
con $d$ intendo differenziale e $D$ derivata
No, che c'entra. Cosa significherebbe quella notazione, la derivata della funzione $x \mapsto x$ è sempre $1$. Ma, ripeto, non ti scervellare troppo su questo argomento. Sono solo convenzioni, non hanno un vero significato matematico. $dx$, negli integrali indefiniti, non è un differenziale: serve solo a ricordarti rispetto a quale variabile stai integrando.
"dissonance":
No, che c'entra. Cosa significherebbe quella notazione, la derivata della funzione $x \mapsto x$ è sempre $1$. Ma, ripeto, non ti scervellare troppo su questo argomento. Sono solo convenzioni, non hanno un vero significato matematico. $dx$, negli integrali indefiniti, non è un differenziale: serve solo a ricordarti rispetto a quale variabile stai integrando.
Ripesco questa discussione perchè è molto interessante. Dissonance, scusami ma non riesco a digerire il fatto che tu dica, come molti altri in questo forum che " $dx$, negli integrali indefiniti, non è un differenziale: serve solo a ricordarti rispetto a quale variabile stai integrando."
C'è molta confusione a riguardo, e non è la prima volta che cerco di parlarne in questo forum, anche se purtroppo i miei topic sono stati chiusi.
L'integrazione è l'inverso della differenziazione. Data una funzione $f(x)$, se la differenzio, cioè se calcolo il suo incremento infinitesimo $df$ relativamente all'incremento infinitesimo delle ascisse $dx$, ottengo che $df=f'(x)*dx$. Ora, se sommo tutti i vari $df$ relativamente ai tanti intervallini infinitesimi $dx$ (non importa tra quali estremi), cioè se integro, ottengo una certa funzione, cioè una funzione $f(x)$ la quale esprime la legge generale secondo la quale la funzione $f(x)$ incrementa; Se poi calcolo la primitiva tra due estremi, so esattamente qual è l'incremento della funzione $f'(x)$ relativamente ai tanti intervallini $dx$. Quindi, l'integrale mi permette di fare due cose nello stesso istante:
1) Calcolare l'incremento esatto di una funzione, in base a quanto detto sopra;
2) Calcolare l'area del sottografico di una funzione, in quando l'espressione $ int_(a)^(b) f'(x)dx $ può essere letta anche come l'area sottesa da $f(x)$, e non soltanto come incremento esatto di $f(x)$.
Io non sono un matematico, e quello che ho detto è assolutamente privo di rigore, però penso che la questione vada approfondita perchè non è possibile che nei corsi di analisi non si faccia mai luce su di essa. I libri dicono sempre che l'integrale serve per calcolare le aree sottese dalle funzioni; in realtà questa è una delle applicazioni del concetto di integrale.
Quindi, ricapitolando, non capisco come si possa trascurare quel $dx$. Non sarà importante ai fini del calcolo, in quando se io devo calcolare l'integrale di $3x^2$ anche se sotto il simbolo $int$ non ci metto $dx$ non succede nulla, però ometterlo concettualmente mi sembra un'idiozia.
Io la vedo cosi.
"lisdap":Ne abbiamo parlato moltissime volte, non ho intenzione di riaprire qui la diatriba. Infatti - come dicevo sopra - io eliminerei completamente il simbolo stesso di integrale indefinito, $"d"x$ e tutto. Questa è l'unica soluzione, radicale, alle innumerevoli incomprensioni che esso genera.
Dissonance, scusami ma non riesco a digerire il fatto che tu dica, come molti altri in questo forum che " $dx$, negli integrali indefiniti, non è un differenziale: serve solo a ricordarti rispetto a quale variabile stai integrando."[...]
Ma è sbagliato quello che ho detto sopra?
Secondo me si. Non sono contrario ai ragionamenti urang-utang, ma questi hanno una logica parlando di integrali definiti. Per l'integrale indefinito una logica urang-utang secondo me non c'è.
Scusa, piccolo OT, ma che significa urang-utang :-D ?
Fai una ricerca sul forum, cerca tra i post di Fioravante Patrone.
Ho letto, però continuo a non fugare i miei dubbi. Anche quando tu scrivi nel post precedente che "SECONDO ME" è errato quello che ho scritto, mi vien da pensare che la questione sugli integrali, sul $dx$, sul differenziale ecc...sia molto soggettiva...
lisdap la pensi esattamente come me, uguale identico pensiero
"emaz92":
lisdap la pensi esattamente come me, uguale identico pensiero
Beh, mi fa piacere che non sono il solo a pensarla così.
Esempio.
Abbiamo $f(x)=x^4$. Dobbiamo calcolare l'integrale indefinito e definito, per esempio fra $0$ e $4$ di questa funzione.
INDEFINITO:
Le formule ci insegnano che esso è $x^5/5+C$;
DEFINITO:
Le formule ci insegnano che esso è $4^5/5=204,8$.
Cerchiamo ora di dare un significato ai due integrali. Sulla base di quanto ho detto prima, l'integrale INDEFINITO è una funzione che dipende da $x$ la quale esprime la legge generale che mi permette di calcolare il vero incremento di una funzione relativo ad una SOMMA DI INTERVALLINI INFINITESIMI. E cioè, se la primitiva è $x^5/5+C$, significa che se io inserisco come input il numero 5, l'operazione che sto facendo è quella di suddividere l'intervallo 5 in tanti intervallini infinitesimi, calcolare l'incremento della funzione relativo ad ogni $dx$ in cui l'intervallo 5 è frazionato, e sommare tutti questi contributi. Quindi la primitiva e dunque l'integrale indefinito è una funzione che generalizza questo procedimento senza tenere conto dell'intervallo di integrazione.
Per passare dall'integrale indefinito a quello definito, calcolo semplicemente la primitiva in due estremi, ottenendo il vero incremento della funzione.
Infatti, passando da $x=0$ a $x=5$, l'integrale definito mi dice che la funzione è incrementata della quantità $204,8$, relativamente alla somma dei tanti intervallini infinitesimi dx in cui l'intervallo di lunghezza 5 è frazionato. Se volessi ottenere l'incremento della funzione senza passare all'integrazione, cioè se calcolassi l'incremento della funzione su un intervallo non frazionato, cioè sull'intervallo di lunghezza $5$, otterrei che esso vale $f(5)=5^4=625$.
L'incremento di una funzione si calcola sempre rispetto ad un intervallo. Se l'intervallo è finito, ottengo un incremento approssimato di $625$. Se voglio sapere qual è l'incremento più preciso possibile, integro, ottenendo un risultato di $204,8$ molto distante da quello precedente.
Poi, tali risultati possono anche essere visti come l'area sottesa dalla funzione, ma questa è solo una delle applicazioni del concetto di integrale.
Questa storia dell'incremento non l'ho proprio capita (sarà che sono un po' duro di comprendonio).
Se prendo una funzione costante, ad esempio $f(x) = 10$ per ogni $x\in\mathbb{R}$, come si lega l'incremento della funzione su un intervallo (che è sempre nullo) col suo integrale definito su tale intervallo?
Mi sembra che, come l'hai messa tu (confrontando $625$ con $204.8$), questa questione dell'approssimazione rientri nel seguente meta-teorema:
Se prendo una funzione costante, ad esempio $f(x) = 10$ per ogni $x\in\mathbb{R}$, come si lega l'incremento della funzione su un intervallo (che è sempre nullo) col suo integrale definito su tale intervallo?
Mi sembra che, come l'hai messa tu (confrontando $625$ con $204.8$), questa questione dell'approssimazione rientri nel seguente meta-teorema:
Qualsiasi numero è uguale ad un altro numero più un resto.
"Rigel":
Questa storia dell'incremento non l'ho proprio capita (sarà che sono un po' duro di comprendonio).
Se prendo una funzione costante, ad esempio $f(x) = 10$ per ogni $x\in\mathbb{R}$, come si lega l'incremento della funzione su un intervallo (che è sempre nullo) col suo integrale definito su tale intervallo?
Mi sembra che, come l'hai messa tu (confrontando $625$ con $204.8$), questa questione dell'approssimazione rientri nel seguente meta-teorema:
Qualsiasi numero è uguale ad un altro numero più un resto.
L'incremento di una funzione, cioè l'aumento o la diminuzione delle sue ordinate, si calcola rispetto all'incremento delle ascisse. Questo mi sembra ovvio. Ora, supponiamo che le ascisse incrementino di $5$. Questo intervallo di lunghezza $5$ lo posso vedere come un intervallo "intero", non frazionato, oppure come una somma di intervallini infinitesimi che, sommati tra di loro danno $5$. Se calcolo l'incremento della funzione relativamente all'intervallo del primo caso, cioè quello "intero", non sto facendo altro che calcolare $f(5)-f(0)$. Se calcolo l'incremento della funzione relativamente all'intervallo del secondo caso, cioè quello frazionato, sto integrando, cioè sto sommando tanti incrementi infinitesimi relativamente ai tanti intervallini infinitesimi che compongono l'intervallo di lunghezza $5$, cioè sto sommando $dy_1$ (relativo al primo intervallino infinitesimo $dx_1$) + $dy_2$ (relativo al secondo intervallino infinitesimo $dx_2$)...e cosi via fino ad arrivare a $5$. Chiaramente nel secondo caso ottengo un incremento più preciso che nel primo. Sperò di essere stato chiaro, ciao.
Scusate la mancanza di rigore.
Ma allora non stai integrando la funzione, ma la sua derivata.
Comunque, se devo calcolare l'incremento della funzione $f$ in $[0,5]$, per definizione di incremento niente è più preciso di $f(5) - f(0)$.
Comunque, se devo calcolare l'incremento della funzione $f$ in $[0,5]$, per definizione di incremento niente è più preciso di $f(5) - f(0)$.
"Rigel":
Ma allora non stai integrando la funzione, ma la sua derivata.
Comunque, se devo calcolare l'incremento della funzione $f$ in $[0,5]$, per definizione di incremento niente è più preciso di $f(5) - f(0)$.
Sto sommando i vari differenziali, il che significa integrare. Integrare significa mettere insieme, e non capisco cosa significhi mettere insieme la derivata :)
"Rigel":Si, qui hai ragione, purtroppo non riesco a trovare altre parole per dire quello che voglio dire. Certo, l'incremento $f(5) - f(0)$ è preciso.
Comunque, se devo calcolare l'incremento della funzione $f$ in $[0,5]$, per definizione di incremento niente è più preciso di $f(5) - f(0)$.
Non è una questione di precisione o meno. Il fatto è che per calcolare l'incremento di una funzione ci stanno due modi, uno è quello di calcolare $f(5) - f(0)$, l'altro è quello di calcolarlo come somma di tanti incrementi infinitesimi su intervallini infinitesimi (la cui somma mi dà come numero la lunghezza dell'intervallo di ascisse in questione). Questo significa integrare, ed è un'altro modo per esprimere l'incremento della funzione, che quindi il concetto di incremento non è univocamente definito perchè l'incremento $f(5) - f(0)$ è diverso da quello calcolato integrando.
Io gli integrali lì vedo così.
"lisdap":
Il fatto è che per calcolare l'incremento di una funzione ci stanno due modi, uno è quello di calcolare $f(5) - f(0)$, l'altro è quello di calcolarlo come somma di tanti incrementi infinitesimi su intervallini infinitesimi (la cui somma mi dà come numero la lunghezza dell'intervallo di ascisse in questione). Questo significa integrare, ed è un'altro modo per esprimere l'incremento della funzione, che quindi non è univocamente definito perchè l'incremento $f(5) - f(0)$ è diverso da quello calcolato integrando.
Ciò mostra che della teoria dell'integrazione non hai capito nulla.
Il consiglio è di studiare sui libri prima di sparare idiozie simili.
[mod="gugo"]Questo argomento è "usato ed abusato".
Ne abbiamo parlato mille volte sul forum; ergo la prossima idiozia che leggo, chiudo.
Spero non me ne diate motivo.[/mod]
"lisdap":
Il fatto è che per calcolare l'incremento di una funzione ci stanno due modi, uno è quello di calcolare $f(5) - f(0)$, l'altro è quello di calcolarlo come somma di tanti incrementi infinitesimi su intervallini infinitesimi (la cui somma mi dà come numero la lunghezza dell'intervallo di ascisse in questione). Questo significa integrare, ...
Questo, passando al limite sulla dimensione degli incrementi, significa integrare la derivata, per l'appunto.
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