Integrale operazione inversa della differenziazione più che.
Se io prendo per esempio questa funzione: $f(x)=senx$, e ne calcolo il differenziale trovo:$df=cosxdx$. Ma allora integrando verrebbe:$intcosxdx=senx(+c)$. Ma allora parlando di integrali indefiniti l' operatore di integrale sembrerebbe l' inversa dell' operazione di differenziazione, cioè, non proprio di derivazione. In pratica stavo cercando di formulare mie ipotesi riguardo a quel simbolo di differenziale nell' integrale indefinito. Nel definito invece il concetto è più chiaro, cioè, il $dx$ rappresenta la base infinitesimale degli infiniti rettangolini. Ma per quanto riguarda l' indefinito c'è qualcuno che può chiarirmi questo dubbio? cioè, da quello che ho studiato la differenziazione non equivale alla derivazione.
Risposte
"gugo82":
[quote="lisdap"]Il fatto è che per calcolare l'incremento di una funzione ci stanno due modi, uno è quello di calcolare $f(5) - f(0)$, l'altro è quello di calcolarlo come somma di tanti incrementi infinitesimi su intervallini infinitesimi (la cui somma mi dà come numero la lunghezza dell'intervallo di ascisse in questione). Questo significa integrare, ed è un'altro modo per esprimere l'incremento della funzione, che quindi non è univocamente definito perchè l'incremento $f(5) - f(0)$ è diverso da quello calcolato integrando.
Ciò mostra che della teoria dell'integrazione non hai capito nulla.
[/quote]
Lo sai che dice il libro? Che l'integrale indefinito è l'insieme delle primitive di una funzione, che l'integrale definito serve per calcolare aree, che il dx non si sa cosa sia e bla bla bla
"Rigel":
[quote="lisdap"] Il fatto è che per calcolare l'incremento di una funzione ci stanno due modi, uno è quello di calcolare $f(5) - f(0)$, l'altro è quello di calcolarlo come somma di tanti incrementi infinitesimi su intervallini infinitesimi (la cui somma mi dà come numero la lunghezza dell'intervallo di ascisse in questione). Questo significa integrare, ...
Questo, passando al limite sulla dimensione degli incrementi, significa integrare la derivata, per l'appunto.[/quote]
la derivata è un coefficiente angolare, continuo a non capire
Quando calcoli l'incremento "infinitesimo", stai calcolando $\Delta f = f(x+\Delta x) - f(x)$; se $f$ è una funzione derivabile, per $\Delta x\to 0$ hai che
$\Delta f = f'(x) \Delta x + o(\Delta x)$.
In definitiva, supponendo di poter trascurare gli "o-piccolo" (cosa che si dimostra che si può fare se $f$ è di classe $C^1$) e passando al limite per gli incrementi che tendono a $0$ arrivi a dire che
$f(b) - f(a) = \int_a^b f'(x) dx$.
$\Delta f = f'(x) \Delta x + o(\Delta x)$.
In definitiva, supponendo di poter trascurare gli "o-piccolo" (cosa che si dimostra che si può fare se $f$ è di classe $C^1$) e passando al limite per gli incrementi che tendono a $0$ arrivi a dire che
$f(b) - f(a) = \int_a^b f'(x) dx$.
"Rigel":
Quando calcoli l'incremento "infinitesimo", stai calcolando $\Delta f = f(x+\Delta x) - f(x)$; se $f$ è una funzione derivabile, per $\Delta x\to 0$ hai che
$\Delta f = f'(x) \Delta x + o(\Delta x)$.
In definitiva, supponendo di poter trascurare gli "o-piccolo" (cosa che si dimostra che si può fare se $f$ è di classe $C^1$) e passando al limite per gli incrementi che tendono a $0$ arrivi a dire che
$f(b) - f(a) = \int_a^b f'(x) dx$.
Beh, sono d'accordo.
Infatti quello che sta dentro il simbolo di integrale è un differenziale, non una derivata.
Se qualcuno ha indicato il simbolo di integrale con una S, un motivo ci sarà. Il procedimento è appunto quello di sommare tutti i vari differenziali.
Per me quello, così com'è scritto, è l'integrale definito di una funzione, e quella funzione è la derivata di $f$.
Anche volendogli dare altre interpretazione (come ad esempio nell'ambito delle forme differenziali) alla fine sempre quello rimane
Anche volendogli dare altre interpretazione (come ad esempio nell'ambito delle forme differenziali) alla fine sempre quello rimane
"lisdap":
Se qualcuno ha indicato il simbolo di integrale con una S, un motivo ci sarà. Il procedimento è appunto quello di sommare tutti i vari differenziali.
Immagino tu abbia visto la costruzione dell'integrale di Riemann.
In tal caso, l'interpretazione della "S" dovrebbe risultare evidente.
Aspetta, ma forse intendevi che stavo integrando la funzione derivata?
"lisdap":
Aspetta, ma forse intendevi che stavo integrando la funzione derivata?
Intendo questo.
Tu hai la funzione $f(x) = x^4$, e vuoi calcolarne l'incremento in $[0,5]$.
Per qualche motivo non ti va di calcolare $f(5) - f(0) = 5^4 - 0^4 = 625$. Escogiti questo schema degli incrementi infinitesimi; calcoli $f'(x) = 4 x^3$ e ti accorgi che
$f(5) - f(0) = \int_0^5 4x^3 dx$.
(Il simbolo a secondo membro va inteso come il limite fatto sulle somme approssimanti al tendere a $0$ degli incrementi.)
"Rigel":
[quote="lisdap"]Aspetta, ma forse intendevi che stavo integrando la funzione derivata?
Intendo questo.
Tu hai la funzione $f(x) = x^4$, e vuoi calcolarne l'incremento in $[0,5]$.
Per qualche motivo non ti va di calcolare $f(5) - f(0) = 5^4 - 0^4 = 625$. Escogiti questo schema degli incrementi infinitesimi; calcoli $f'(x) = 4 x^3$ e ti accorgi che
$f(5) - f(0) = \int_0^5 4x^3 dx$.
(Il simbolo a secondo membro va inteso come il limite fatto sulle somme approssimanti al tendere a $0$ degli incrementi.)[/quote]
Allora, preso dalla voglia di scrivere mi sono accorto di aver fatto un tremendo errore, e cioè di aver confuso la funzione con la sua funzione derivata.
Ribadisco la mia idea.
Abbiamo una funzione $f(x)=x^4$. Già sappiamo, per definizione, che $f(x)=x^4$ è la primitiva della funzione derivata $f'(x)=4x^3$. Supponiamo che vogliamo integrare $f$, ci sono due modi:
1) Più complicato. Ne calcolo il differenziale, cioè $dy=4x^3*dx$, e poi applico le solite regole sull'integrazione. Naturalmente faccio così se non ho l'espressione esplicita di $f$, ma se conosco soltanto la sua derivata;
2) Se ho a disposizione l'espressione analitica di $f$, la calcolo semplicemente fra $a$ e $b$.
Quello che voglio precisare, però, è che integrando $f(x)=x^4$ io non faccio altro che sommare tra di loro tanti incrementi infinitesimi $df$ DELLA PRIMITIVA. Questo, sia per quanto riguarda l'integrale definito, sia per quanto riguarda l'integrale indefinito. Poi, se l'integrale è indefinito, la somma di questi $df$ mi dà una funzione, se è definito, un numero.
Mi scuso per aver scritto quelle cavolate sui due tipi di intervalli, lo ammetto, sono stato poco razionale. La variazione di una funzione $f$ tra $a$ e $b$ si calcola come $f(b)-f(a)$. Se poi ho già l'espressione esplicita di $f$, l'operazione è semplice da fare. Se non ho l'espressione esplicita di $f$, ma ho $f'$, allora devo prima calcolare $f$ tramite le tecniche di integrazione e poi trovare $f(b)-f(a)$. Questo sempre per ribadire che integrare non significa solo calcolare l'area sottesa da $f$, ma calcolare anche il suo incremento fra $a$ e $b$. Poi, tale risultato può anche essere letto come un'area. E ci tengo a precisare che il $dx$ anche nella definizione di integrale indefinito è indispensbile concettualmente, così come che l'integrazione non è l'inverso della derivazione ma della differenziazione.
"lisdap":
Mi scuso per aver scritto quelle cavolate sui due tipi di intervalli, lo ammetto, sono stato poco razionale. La variazione di una funzione $f$ tra $a$ e $b$ si calcola come $f(b)-f(a)$. Se poi ho già l'espressione esplicita di $f$, l'operazione è semplice da fare. Se non ho l'espressione esplicita di $f$, ma ho $f'$, allora devo prima calcolare $f$ tramite le tecniche di integrazione e poi trovare $f(b)-f(a)$. Questo sempre per ribadire che integrare non significa solo calcolare l'area sottesa da $f$, ma calcolare anche il suo incremento fra $a$ e $b$. Poi, tale risultato può anche essere letto come un'area. E ci tengo a precisare che il $dx$ anche nella definizione di integrale indefinito è indispensbile concettualmente, così come che l'integrazione non è l'inverso della derivazione ma della differenziazione.
E ciò (la frase in grassetto) continua a significare che fai confusione e che, nonostante gli sforzi di (un oltremodo paziente) Rigel, continui a non capire ed a perseverare nella tua convinzione.
Pazienza.
Inoltre, se il libro dice una cosa, vuol dire che nel corso dei secoli (ricorda, il Calcolo è invenzione di tre secoli fa, decennio più decennio meno) si è capito che quello è l'approccio migliore alla questione.
Sinceramente, non capisco perchè ti accanisci su questa cosa... Vuoi pensare che ciò che dici sia giusto? Fallo.
Ma accetta anche che a chi si occupa della Matematica per mestiere questo approccio alla questione sembri insensato o, comunque, da principianti.
Imporre una propria interpretazione di un concetto (perchè di interpretazione si tratta, dato che non riporti la minima giustificazione teorica a quanto dici) a qualcuno è sempre cosa da evitare. Soprattutto quando hai a che fare con gente che, per ovvi motivi, ne sa più di te ed ha maturato delle convinzioni diverse e con fondamenti migliori delle tue.
Infine, invito tutti a riflettere, come al solito, sulla Teoria della Mantagna di Merda che ho esposto qui.
"gugo82":
[quote="lisdap"]Mi scuso per aver scritto quelle cavolate sui due tipi di intervalli, lo ammetto, sono stato poco razionale. La variazione di una funzione $f$ tra $a$ e $b$ si calcola come $f(b)-f(a)$. Se poi ho già l'espressione esplicita di $f$, l'operazione è semplice da fare. Se non ho l'espressione esplicita di $f$, ma ho $f'$, allora devo prima calcolare $f$ tramite le tecniche di integrazione e poi trovare $f(b)-f(a)$. Questo sempre per ribadire che integrare non significa solo calcolare l'area sottesa da $f$, ma calcolare anche il suo incremento fra $a$ e $b$. Poi, tale risultato può anche essere letto come un'area. E ci tengo a precisare che il $dx$ anche nella definizione di integrale indefinito è indispensbile concettualmente, così come che l'integrazione non è l'inverso della derivazione ma della differenziazione.
E ciò (la frase in grassetto) continua a significare che fai confusione e che, nonostante gli sforzi di (un oltremodo paziente) Rigel, continui a non capire ed a perseverare nella tua convinzione.
Pazienza.
Inoltre, se il libro dice una cosa, vuol dire che nel corso dei secoli (ricorda, il Calcolo è invenzione di 300 anni fa, anno più anno meno) si è capito che quello è l'approccio migliore alla questione.
Sinceramente, non capisco perchè ti accanisci su questa cosa... Vuoi pensare che ciò che dici sia giusto? Fallo.
Ma accetta anche che a chi si occupa della Matematica per mestiere questo approccio alla questione sembri insensato o, comunque, da principianti.
Imporre una propria interpretazione di un concetto (perchè di interpretazione si tratta, dato che non riporti la minima giustificazione teorica a quanto dici) a qualcuno è sempre cosa da evitare. Soprattutto quando hai a che fare con gente che, per ovvi motivi, ne sa più di te ed ha maturato delle convinzioni diverse e con fondamenti migliori delle tue.
Infine, invito tutti a riflettere, come al solito, sulla Teoria della Mantagna di Merda che ho esposto qui.[/quote]
E perchè sarebbe sbagliato quello che hai evidenziato in grassetto?
Fammi almeno capire.
[xdom="gugo82"]È la stessa idiozia che ti ho segnalato prima, e che Rigel ha già cercato di correggere (venendoti dietro per ben due pagine).
Visto che non ho lo spirito del missionario, mi astengo da una nuova e necessariamente ripetitiva spiegazione.
Come detto, continuare ad intestardirti è inutile se non sei disposto a mettere in discussione ciò che sai o credi di sapere. In proposito, una lettura istruttiva è questa qui.
Ah... E come promesso, chiudo.[/xdom]
"lisdap":
[quote="gugo82"][quote="lisdap"]Mi scuso per aver scritto quelle cavolate sui due tipi di intervalli, lo ammetto, sono stato poco razionale. La variazione di una funzione $f$ tra $a$ e $b$ si calcola come $f(b)-f(a)$. Se poi ho già l'espressione esplicita di $f$, l'operazione è semplice da fare. Se non ho l'espressione esplicita di $f$, ma ho $f'$, allora devo prima calcolare $f$ tramite le tecniche di integrazione e poi trovare $f(b)-f(a)$. Questo sempre per ribadire che integrare non significa solo calcolare l'area sottesa da $f$, ma calcolare anche il suo incremento fra $a$ e $b$. Poi, tale risultato può anche essere letto come un'area. E ci tengo a precisare che il $dx$ anche nella definizione di integrale indefinito è indispensbile concettualmente, così come che l'integrazione non è l'inverso della derivazione ma della differenziazione.
E ciò (la frase in grassetto) continua a significare che fai confusione e che, nonostante gli sforzi di (un oltremodo paziente) Rigel, continui a non capire ed a perseverare nella tua convinzione.
Pazienza.
Inoltre, se il libro dice una cosa, vuol dire che nel corso dei secoli (ricorda, il Calcolo è invenzione di 300 anni fa, anno più anno meno) si è capito che quello è l'approccio migliore alla questione.
Sinceramente, non capisco perchè ti accanisci su questa cosa... Vuoi pensare che ciò che dici sia giusto? Fallo.
Ma accetta anche che a chi si occupa della Matematica per mestiere questo approccio alla questione sembri insensato o, comunque, da principianti.
Imporre una propria interpretazione di un concetto (perchè di interpretazione si tratta, dato che non riporti la minima giustificazione teorica a quanto dici) a qualcuno è sempre cosa da evitare. Soprattutto quando hai a che fare con gente che, per ovvi motivi, ne sa più di te ed ha maturato delle convinzioni diverse e con fondamenti migliori delle tue.
Infine, invito tutti a riflettere, come al solito, sulla Teoria della Mantagna di Merda che ho esposto qui.[/quote]
E perchè sarebbe sbagliato quello che hai evidenziato in grassetto?
Fammi almeno capire.[/quote]
Se [tex]$f(x)=1$[/tex] è la funzione costante, il suo incremento su qualsiasi intervallo [tex]$[a,b]$[/tex] è nullo, mentre il suo integrale vale [tex]$b-a$[/tex]. Come vedi sono due cose diverse!
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