Integrale non risolto

[superpisu]

salve amici, mi hanno dato all'università degli integrali da fare pre casa..ma uno non riesco a farlo..mi aiutate?
l'integrale indefinito è questo: 1/(x *sqrt(la radice quadrata) di x +1)
grazie sono disperato

[Sk_Anonymous]

Prova a fare la sostituzione $sqrt(x+1)=t$

[superpisu]

ciao enea, grazie per avermi risposto..
allora facendo come dici tu, io sostituisco la radice di x+1 con t, quindi x adesso vale t^2 + 1 e dx = 2t dt
quindi l'integrale sarebbe: 2 che moltiplica l'integrale di 1/(t^2 - 1) giusto?
adesso se c'era un t^2 + 1 me la cavavo con un arcotan di t, ma in questo caso che faccio?
ciao e grazie

[fireball1]

Trovi A e B tali che
$1/(t^2-1)=A/(t-1) +B/(t+1)
Così spezzi l'integrale in due integrali che sai calcolare.

[superpisu]

ciao fireball, ho fatto come dici tu..però la mia soluzione è diffrente da quella di derive(sai il programma di matematica?) che mi da come soluzione questa: 2log(sqrt(x+1) - 1) - log(x)
a te risulta che deve essere così la soluzione?
ciao e grazie

[Cheguevilla]

A me viene $ln((t^2-1)/(t-1))+c$
Chissà cosa avrò sbagliato stavolta...

[Sk_Anonymous]

prova a porre $sqrt(x+1)=sint$


forse ti verrà + semplice.


fammi sapere

[eugenio.amitrano]

Da $2int1/(t^2 - 1)dt$ si potrebbe utilizzare l'integrale immediato $int1/(1-x^2)dx = 1/2ln|(1+x)/(1-x)| + c$ portando $-2$ ll'esterno dell'integrale.

[Sk_Anonymous]

"eugenio.amitrano":Da $2int1/(t^2 - 1)dt$ si potrebbe utilizzare l'integrale immediato $int1/(1-x^2)dx = 1/2ln|(1+x)/(1-x)| + c$ portando $-2$ ll'esterno dell'integrale.

[Sk_Anonymous]

Con la sostituzione $sqrt(x+1)=sint$ la soluzione verrebbe (se i calcoli sono giusti):

$-2logtg(((arcsen(sqrtx+1))/2)+pi/4)+c$

[superpisu]

boh? qua ci escono tutte soluzioni diverse..

[Sk_Anonymous]

Prendi quella di eugenio...è esatta.

[Cheguevilla]

La mia è uguale a quella di Eugenio.
Allora non ho sbagliato...
Da $1/(t^2-1)=A/(t-1) +B/(t+1)$
Ricavo $A$ e $B$:
$1/(t^2-1)=(A(t+1)+B(t-1))/(t^2-1)$
Cioè:
$1=A(t+1)+B(t-1)$
$1=At+A+Bt-B$
$1=t(A+B)+A-B$
Quindi:
${(A+B=0),(A-B=1):}$
Quindi, $A=1/2$ e $B=-1/2$
$int(1/(2(t+1))-1/(2(t-1)))dt$
Per cui:
$1/2(int1/(t+1)dt-int1/(t-1)dt)$
Che diventa:
$1/2(ln|t+1|-ln|t-1|)+c=1/2ln|t+1|/|t-1|+c=lnsqrt(|t+1|/|t-1|)+c$
Razionalizzando:
$ln|t^2-1|/|t-1|+c$

[Sk_Anonymous]

Scusami Che,non avevo letto la tua.

[laura.todisco]

"fireball":Trovi A e B tali che
$1/(t^2-1)=A/(t-1) +B/(t+1)
Così spezzi l'integrale in due integrali che sai calcolare.

Ihihihih ricordo il mio ultimo esame, fisica 2; dissi proprio così "spezzo l'integrale..." e il Prof mi minacciò di spezzarmi le gambe ahahahahah

[fireball1]

Qual è il problema? Si fa la decomposizione
in fratti semplici e si trovano A e B...
Non vedo perché porre $sqrt(x+1)=sint$ addirittura...

[Kroldar]

E magari, per completare l'opera, le costanti $A$ e $B$ le si calcola col metodo dei residui così si evita pure di fare il sistema

[Sk_Anonymous]

"fireball":
Non vedo perché porre $sqrt(x+1)=sint$ addirittura...

Se lo fai ti accorgerai che l'integrale da svolgere "scivola meglio",almeno per me.

[Sk_Anonymous]

Naturalmente $AAx>=-1$

[laura.todisco]

"superpisu":ciao fireball, ho fatto come dici tu..però la mia soluzione è diffrente da quella di derive(sai il programma di matematica?) che mi da come soluzione questa: 2log(sqrt(x+1) - 1) - log(x)
a te risulta che deve essere così la soluzione?
ciao e grazie

Si la soluzione è giusta.
Se segui la sostituzione suggerita, otterrai in $t$ la seguente soluzione:
$ln|(t-1)/(t+1)|+c$

Ri-sostituendo ottieni:

$ln|(sqrt(x+1)-1)/(sqrt(x+1)+1)|+c$

razionalizzando il denominatore:

$ln|((sqrt(x+1)-1)^2)/x|+c=2ln|(sqrt(x+1)-1)/x|+c$

[superpisu]

ok grazie laura di avermi fatto notare la questione della razionalizzazione..e grazie a tutti per l'aiuto..
ciao