Integrale nel senso delle distribuzioni!!

[custonio]

Salve ragazzi. ho bisogno di un "immenso" aiuto. purtroppo ho a breve l esame di metodi matematici e il prof, senza alcuna coscienza, ci ha dato solo degli appunti da studiare e nemmeno un accenno all impostazione degli esercizi. in un modo o l altro li so risolvere tutti tranne uno. l ultimo! è un integrale di questo tipo : $ int_(-oo )^(oo ) 1/(t^4+16)* (sign(2t-1)+t) dt $ .
Dalla teoria so che è un integrale nel senso delle distribuzioni ma non ho idea di come andare avanti. scusate per il disturbo e grazie mille per l eventuale aiuto.

[gugo82]

Non vedo cosa c'entri la teoria delle distribuzioni... Qui vuoi calcolare l'integrale di una funzione localmente integrabile secondo Riemann: è roba di Analisi I.

Scrivendo esplicitamente, hai:
\[
\begin{split}
\operatorname{sign} (2t-1) - t &= \begin{cases} 1 - t&\text{, se } 2t-1>0\\
-t &\text{, se } 2t-1=0\\
-1-t &\text{, se } 2t-1<0
\end{cases}\\
&= \begin{cases} 1 - t&\text{, se } t>1/2\\
-1/2 &\text{, se } t=1/2\\
-1-t &\text{, se } t<1/2
\end{cases}
\end{split}
\]
dunque l'integrando è:
\[
\begin{split}
\frac{\operatorname{sign} (2t-1) - t}{t^4+16} &= \begin{cases} \frac{1 - t}{t^4+16}&\text{, se } t>1/2\\
-\frac{1/2}{(1/2)^4+16} &\text{, se } t=1/2\\
-\frac{1+t}{t^4+16} &\text{, se } t<1/2
\end{cases}\; .
\end{split}
\]
Dalla definizione si vede che l'integrando è continuo a tratti e sommabile in tutto \(\mathbb{R}\), quindi l'integrale si calcola in maniera del tutto normale.

[custonio]

Scusa per la cretinata che ho detto allora.. L ho trovato tra quella tipologia di esercizi e pensavo fosse un integrale nel senso delle distribuzioni. Grazie mille!