Integrale lungo un dominio D?
Salve a tutti.
Dato un dominio D, come ad esempio una ellisse. L'esercizio mi chiede di integrare una forma differenziale lungo \(\displaystyle D^- \)
Cosa vuol dire esattamente?
Poi mi chiede di integrare sempre lungo \(\displaystyle D^- \) un'altra forma differenziale e devo spiegare perchè i due integrali coincidono.
Datemi una mano per favore.
Dato un dominio D, come ad esempio una ellisse. L'esercizio mi chiede di integrare una forma differenziale lungo \(\displaystyle D^- \)
Cosa vuol dire esattamente?
Poi mi chiede di integrare sempre lungo \(\displaystyle D^- \) un'altra forma differenziale e devo spiegare perchè i due integrali coincidono.
Datemi una mano per favore.
Risposte
Significa fare l'integrale di linea!
Non conosci? Quale dei pezzi ti è più oscuro?
Non conosci? Quale dei pezzi ti è più oscuro?
Integrale di linea? Non so di cosa stai parlando :O
@ Lightmind: Ti conviene postare il testo dell'esercizio, che la notazione pare un po' strana.
L'esercizio mi chiede di verificare che D è un compatto (è una ellisse) e di calcolate due integrali \(\displaystyle I_1 \) di una forma differenziale e \(\displaystyle I_2 \) di un'altra, entrambi integrali su \(\displaystyle D^- \)
Non sono molto pratica con i simboli del forum, in pratica \(\displaystyle D^- \) è il ''pedice'' della doppia ''S'' dell'integrale.
Devo poi verificare che i due integrali coincidono.
Ho pensato che dovessi calcolare l'integrale lungo la frontiera, cioè integrare la forma differenziale lungo una curva che è la frontiera di un dominio, ma è un integrale doppio! È per questo motivo che non capisco.
Non sono molto pratica con i simboli del forum, in pratica \(\displaystyle D^- \) è il ''pedice'' della doppia ''S'' dell'integrale.
Devo poi verificare che i due integrali coincidono.
Ho pensato che dovessi calcolare l'integrale lungo la frontiera, cioè integrare la forma differenziale lungo una curva che è la frontiera di un dominio, ma è un integrale doppio! È per questo motivo che non capisco.
Dunque, vediamo di fare un po' di ordine
Possiamo capire ciò che devi fare da come è scritta la forma differenziale \(\omega\) che devi integrare: se \(\omega\) è una 1-forma, cioè un oggetto della forma \(\omega = f_1(x,y) dx + f_2(x,y) dy\), allora quello che devi calcolare è
\[
\iint_{\partial^-D} \omega
\]
che si scrive
e significa "calcolare l'integrale della forma differenziale \(\omega\) sul bordo di \(D\) orientato negativamente"; se invece \(\omega\) è una 2-forma, cioè \(\omega = g_1(x,y) dxdy\) allora la devi integrare sul dominio \(D\), ma non credo sia questo il caso.
Una volta chiarito questo, il resto è facile
Possiamo capire ciò che devi fare da come è scritta la forma differenziale \(\omega\) che devi integrare: se \(\omega\) è una 1-forma, cioè un oggetto della forma \(\omega = f_1(x,y) dx + f_2(x,y) dy\), allora quello che devi calcolare è
\[
\iint_{\partial^-D} \omega
\]
che si scrive
\[
\iint_{\partial^-D} \omega
\]e significa "calcolare l'integrale della forma differenziale \(\omega\) sul bordo di \(D\) orientato negativamente"; se invece \(\omega\) è una 2-forma, cioè \(\omega = g_1(x,y) dxdy\) allora la devi integrare sul dominio \(D\), ma non credo sia questo il caso.
Una volta chiarito questo, il resto è facile
Si tratta di una 1-forma. Allora devo trovare le equazioni del bordo di D? Devono essere in forma parametrica con \(\displaystyle \rho \) e \(\displaystyle \theta \)? O bastano x e y?
Non sapevo che un altro modo di indicare la frontiera di un dominio fosse \(\displaystyle D^- \).
Ad averlo saputo prima!!!
L'unica cosa che ti volevo chiedere: visto che D è un'ellisse prendere \(\displaystyle D^- \) vuol dire prendere la frontiera orientata in senso orario giusto?
Ad averlo saputo prima!!!
L'unica cosa che ti volevo chiedere: visto che D è un'ellisse prendere \(\displaystyle D^- \) vuol dire prendere la frontiera orientata in senso orario giusto?
Infatti io non ho mai visto quella notazione, secondo me si è perso un simbolo \(\partial\).
Una rappresentazione parametrica dipende da un solo parametro, ed è una cosa del tipo \((x,y) = (x(t), y(t))\), o anche \((\rho, \psi) = (\rho(t),\psi(t))\).
Il senso orario è l'orientamento negativo.
Una rappresentazione parametrica dipende da un solo parametro, ed è una cosa del tipo \((x,y) = (x(t), y(t))\), o anche \((\rho, \psi) = (\rho(t),\psi(t))\).
Il senso orario è l'orientamento negativo.
E invece, data una generica curva chiusa come si fa a capire il suo orientamento?
Mi è venuto questo dubbio.
Mi è venuto questo dubbio.
L'orientamento convenzionale positivo standard di una curva è quello per cui "percorrendola, la superficie finita racchiusa dalla curva si trova a sinistra". Credo sia legato alla storia della terna destrorsa.
Ho capito. Quindi per orientare una superficie basta vedere quando la sua frontiera, che sarà una curva chiusa, è orientata nel modo che dici tu (antiorario) ?
Orientare = dire quale verso è positivo, punto. Di solito si fa come ho detto sopra.
Grazie mille!
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