Integrale linea lungo bordo del dominio
In un esercizio mi viene chiesto il calcolo di un integrale di linea lungo $gamma$, dove essa è definita come il bordo del seguente dominio: ${(x,y): x>=0, y>=0, y<=1-x^2}$
E' semplice immaginarsi la regione di spazio:
Come posso procedere? Ho pensato che devo considerare le 3 equazioni, parametrizzale, considerare 3 integrali diversi e sommarli. Non sono però troppo bravo nella parametrizzazione ma provo partendo da quella in basso:
1. ${ ( y = 0 ),( x = t ):}, 0<=t<=1$
2. ${ ( y = t ),( x=sqrt(1-t) ):}, 0<=t<=1$
3. ${ ( y = t ),( x=0 ):}, 0<=t<=1$
E' semplice immaginarsi la regione di spazio:
Come posso procedere? Ho pensato che devo considerare le 3 equazioni, parametrizzale, considerare 3 integrali diversi e sommarli. Non sono però troppo bravo nella parametrizzazione ma provo partendo da quella in basso:
1. ${ ( y = 0 ),( x = t ):}, 0<=t<=1$
2. ${ ( y = t ),( x=sqrt(1-t) ):}, 0<=t<=1$
3. ${ ( y = t ),( x=0 ):}, 0<=t<=1$
Risposte
Ciao Luk_3D,
Scegli un verso di percorrenza di $\gamma $ e mantienilo...
Scegliendo il verso antiorario ($\gamma^+$) a partire dall'origine degli assi $O(0,0) $ farei così:
1. $ { ( x = t ),( y = 0 ):} $
2. $ { ( x = \sqrt{1 - t} ),( y = t ):} $
3. $ { ( x = 0 ),( y = 1 - t ):} $
con $0 <= t <= 1$
Scegli un verso di percorrenza di $\gamma $ e mantienilo...
Scegliendo il verso antiorario ($\gamma^+$) a partire dall'origine degli assi $O(0,0) $ farei così:
1. $ { ( x = t ),( y = 0 ):} $
2. $ { ( x = \sqrt{1 - t} ),( y = t ):} $
3. $ { ( x = 0 ),( y = 1 - t ):} $
con $0 <= t <= 1$
"pilloeffe":
Ciao Luk_3D,
Scegli un verso di percorrenza di $\gamma $ e mantienilo...
Scegliendo il verso antiorario ($\gamma^+$) a partire dall'origine degli assi $O(0,0) $ farei così:
1. $ { ( x = t ),( y = 0 ):} $
2. $ { ( x = \sqrt{1 - t} ),( y = t ):} $
3. $ { ( x = 0 ),( y = 1 - t ):} $
con $0 <= t <= 1$
Ok sono uguali tranne la 3, potresti spiegarmi da dove esce?
Certamente.
Beh, devi fare in modo che quando $t = 0 $ risulti il punto $(0, 1) $, quando $t = 1 $ deve risultare l'origine $O(0,0) $: questo perché si è scelto il verso di percorrenza antiorario ($\gamma^+$). Nota bene che la parametrizzazione 3 che hai scritto andrebbe bene se scegliessi il verso di percorrenza orario ($\gamma^-$) dall'origine $O(0,0) $ (ma poi dovresti modificare le altre 2 parametrizzazioni... )
Beh, devi fare in modo che quando $t = 0 $ risulti il punto $(0, 1) $, quando $t = 1 $ deve risultare l'origine $O(0,0) $: questo perché si è scelto il verso di percorrenza antiorario ($\gamma^+$). Nota bene che la parametrizzazione 3 che hai scritto andrebbe bene se scegliessi il verso di percorrenza orario ($\gamma^-$) dall'origine $O(0,0) $ (ma poi dovresti modificare le altre 2 parametrizzazioni...
)
"pilloeffe":
Certamente.
Beh, devi fare in modo che quando $t = 0 $ risulti il punto $(0, 1) $, quando $t = 1 $ deve risultare l'origine $O(0,0) $: questo perché si è scelto il verso di percorrenza antiorario ($\gamma^+$). Nota bene che la parametrizzazione 3 che hai scritto andrebbe bene se scegliessi il verso di percorrenza orario ($\gamma^-$) dall'origine $O(0,0) $ (ma poi dovresti modificare le altre 2 parametrizzazioni...
Perfetto ho capito! Nell esercizio mi viene dato il seguente campo: $w=(cosx^2+y^2)dx + (y/(y^3+1)+x/3)^3dy$
E' normale che il secondo integrale mi venga un casino? O.o
$int_0^1 (cos(1-t)+t^2)/(2*sqrt(1-t))+(t/(t^3+1)+sqrt(1-t)/3)^3$
Prova a vedere se le cose si semplificano usando Gauss-Green:
$\oint_{del^+ D} A(x,y)\text{d}x + B(x,y)\text{d}y = \int\int_D ((delB)/(delx) - (delA)/(dely)) \text{d}x \text{d}y $
$\oint_{del^+ D} A(x,y)\text{d}x + B(x,y)\text{d}y = \int\int_D ((delB)/(delx) - (delA)/(dely)) \text{d}x \text{d}y $
"pilloeffe":
Prova a vedere se le cose si semplificano usando Gauss-Green:
$\oint_{del^+ D} A(x,y)\text{d}x + B(x,y)\text{d}y = \int\int_D ((delB)/(delx) - (delA)/(dely)) \text{d}x \text{d}y $
Non è nel mio programma di studi
"Luk_3D":[/quote]
[quote="pilloeffe"]
E' normale che il secondo integrale mi venga un casino? O.o
$int_0^1 (cos(1-t)+t^2)/(2*sqrt(1-t))+(t/(t^3+1)+sqrt(1-t)/3)^3$
Prova a rifarlo parametrizzando la curva così:
$ { ( x = t ),( y = 1 - t^2 ):} $
Meglio ma non di molto. La parte che rappresenta $F_2$ è il problema.
$int_0^1 (cost^2+(1-t^2)^2) + ((1-t^2)/((1-t^2)^3+1)+t/3)^3*(-2t)dt$
$int_0^1 (cost^2+(1-t^2)^2) + ((1-t^2)/((1-t^2)^3+1)+t/3)^3*(-2t)dt$
"Luk_3D":
La parte che rappresenta $F_2$ è il problema.
Chi è $F_2$? Vuoi dire che il campo è $F = F(x,y) = (F_1(x,y), F_2(x,y))$?
Si ha:
$\int_{\gamma} F \cdot \text{d}\gamma = \int_0^1 [F_1(x(t),y(t)) x'(t) + F_2(x(t), y(t))y'(t)] \text{d}t $
Non ho controllato i tuoi conti, sicuro di averli fatti per bene?
"pilloeffe":
[quote="Luk_3D"]La parte che rappresenta $F_2$ è il problema.
Chi è $F_2$? Vuoi dire che il campo è $F = F(x,y) = (F_1(x,y), F_2(x,y))$?
Si ha:
$\int_{\gamma} F \cdot \text{d}\gamma = \int_0^1 [F_1(x(t),y(t)) x'(t) + F_2(x(t), y(t))y'(t)] \text{d}t $
Non ho controllato i tuoi conti, sicuro di averli fatti per bene?[/quote]
Appena ricontrollati.
Non hai risposto alla prima domanda:
E visto che ci siamo: chi è $F_1(x,y) $?
"pilloeffe":
Chi è $F_2$?
E visto che ci siamo: chi è $F_1(x,y) $?
"pilloeffe":
Non hai risposto alla prima domanda:
[quote="pilloeffe"]Chi è $F_2$?
E visto che ci siamo: chi è $F_1(x,y) $?[/quote]
Dato $w=(cosx^2+y^2)dx + (y/(y^3+1)+x/3)^3dy$
$F_1(x,y) = (cosx^2+y^2)$
$F_2(x,y) = (y/(y^3+1)+x/3)^3$
Conosci il risultato dell'esercizio?
La curva è chiusa ed il campo ti è stato assegnato in forma differenziale...
La curva è chiusa ed il campo ti è stato assegnato in forma differenziale...
"pilloeffe":
Conosci il risultato dell'esercizio?
La curva è chiusa ed il campo ti è stato assegnato in forma differenziale...
No, non dispongo del risultato, non mi sembra che quanto io abbia scritto sia scorretto e che la forma differenziale possa causarmi problemi in quanto la conversione fra le due forme è immediata.
"Luk_3D":
non mi sembra che quanto io abbia scritto sia scorretto e che la forma differenziale possa causarmi problemi
Non ho affermato che quanto hai scritto sia scorretto, ma non hai colto il suggerimento...
Te la scrivo così:
$ \text{d}U = (del U)/(del x) \text{d}x + (del U)/(del y) \text{d}y $
e la curva è chiusa...
"pilloeffe":
[quote="Luk_3D"]non mi sembra che quanto io abbia scritto sia scorretto e che la forma differenziale possa causarmi problemi
Non ho affermato che quanto hai scritto sia scorretto, ma non hai colto il suggerimento...
Te la scrivo così:
$ \text{d}U = (del U)/(del x) \text{d}x + (del U)/(del y) \text{d}y $
e la curva è chiusa...[/quote]
Nel caso in cui la forma differenziale fosse chiusa ed esatta potrei dire immediatamente che il risultato è zero.
Aimè la nostra forma differenziale non è affatto esatta in quanto non soddisfa la condizione di irrotazionalità:
$d/dy(cos^2(x) + y^2) = 2 y$
$d/dx((y/(y^3 + 1) + x/3)^3) = (x/3 + y/(y^3 + 1))^2$
"Luk_3D":
$ d/dy(cos^2(x) + y^2) = 2 y $
Ma è $cos^2 x $ o $cos x^2 $? Non è la stessa cosa...
In ogni caso l'insieme $D$ è semplicemente connesso (infatti è senza buchi): proprio per questo motivo la forma differenziale è esatta e dunque ammette potenziale, che volendo si può anche determinare anche se poi in effetti non serve neanche perché essendo la curva $\del^+ D$ chiusa sappiamo già che l'integrale è nullo.
Comunque si ha:
$ (del U)/(del x) = cos^2 x + y^2 \implies U(x,y) = 1/2 (x + 2 x y^2 + cos x sin x) + c(y) $
Ora $(del U)/(del y) = 2xy + c'(y) = (y/(y^3 + 1) + x/3)^3 $
Da quest'ultima equazione differenziale si riesce a determinare $ c(y) $ la cui espressione è un po' laboriosa, ma si trova...
"pilloeffe":
In ogni caso l'insieme $D$ è semplicemente connesso (infatti è senza buchi): proprio per questo motivo la forma differenziale è esatta e dunque ammette potenziale, che volendo si può anche determinare anche se poi in effetti non serve neanche perché essendo la curva $\del^+ D$ chiusa sappiamo già che l'integrale è nullo.
Comunque si ha:
$ (del U)/(del x) = cos^2 x + y^2 \implies U(x,y) = 1/2 (x + 2 x y^2 + cos x sin x) + c(y) $
Ora $(del U)/(del y) = 2xy + c'(y) = (y/(y^3 + 1) + x/3)^3 $
Da quest'ultima equazione differenziale si riesce a determinare $ c(y) $ la cui espressione è un po' laboriosa, ma si trova...
Scusami ma secondo me non è vero, essere una forma chiusa è condizione necessaria ad essere esatta, e la forma in questione non è chiusa. Mi sto sbagliando?
"jinsang":
Mi sto sbagliando?
No. Infatti propenderei per un errore sul testo dell'esercizio...
Ipotesi:
$F_1(x,y) = cos x^2 + x^2 y $
$F_2(x,y) = (y/(y^3 + 1) + x^3/3) $
Escluderei che l'esercizio sia stato proposto con lo scopo di far usare la parametrizzazione: gli integrali che ne derivano risultano un po' troppo complicati...
"pilloeffe":
[quote="jinsang"]Mi sto sbagliando?
No. Infatti propenderei per un errore sul testo dell'esercizio...
Ipotesi:
$F_1(x,y) = cos x^2 + x^2 y $
$F_2(x,y) = (y/(y^3 + 1) + x^3/3) $
Escluderei che l'esercizio sia stato proposto con lo scopo di far usare la parametrizzazione: gli integrali che ne derivano risultano un po' troppo complicati...
[/quote]E' $F_1(x,y) = cos x^2 + y^2 $ non $F_1(x,y) = cos^2(x) + y^2 $
Ma ad ogni modo l'esercizio non mi sembra variare in questo caso:
$d/dy(cos^2(x) + y^2) = 2 y$
$d/dy(cos(x^2) + y^2) = 2 y$
Per quanto riguarda $F2(x,y)$ hai ragione è:
$F_2(x,y) = (y/(y^3 + 1) + x^3/3)$
scusatemi ma era scritto a penna
Ricapitolando:
$w=(cos(x^2)+y^2)dx + (y/(y^3+1)+x^3/3)dy$
$d/dy(cos(x^2) + y^2) = 2 y$
$d/dx(y/(y^3 + 1) + x^3/3) = x^2$
Che non è una forma esatta quindi resta svolgere:
$int_0^1 (cos(t^2)+(1-t^2)^2) + ((1-t^2)/((1-t^2)^3+1)+t^3/3)*(-2t)dt$
Vi posto anche il testo dell'esercizio d'esame:
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