Integrale linea lungo bordo del dominio
In un esercizio mi viene chiesto il calcolo di un integrale di linea lungo $gamma$, dove essa è definita come il bordo del seguente dominio: ${(x,y): x>=0, y>=0, y<=1-x^2}$
E' semplice immaginarsi la regione di spazio:
Come posso procedere? Ho pensato che devo considerare le 3 equazioni, parametrizzale, considerare 3 integrali diversi e sommarli. Non sono però troppo bravo nella parametrizzazione ma provo partendo da quella in basso:
1. ${ ( y = 0 ),( x = t ):}, 0<=t<=1$
2. ${ ( y = t ),( x=sqrt(1-t) ):}, 0<=t<=1$
3. ${ ( y = t ),( x=0 ):}, 0<=t<=1$
E' semplice immaginarsi la regione di spazio:
Come posso procedere? Ho pensato che devo considerare le 3 equazioni, parametrizzale, considerare 3 integrali diversi e sommarli. Non sono però troppo bravo nella parametrizzazione ma provo partendo da quella in basso:
1. ${ ( y = 0 ),( x = t ):}, 0<=t<=1$
2. ${ ( y = t ),( x=sqrt(1-t) ):}, 0<=t<=1$
3. ${ ( y = t ),( x=0 ):}, 0<=t<=1$
Risposte
"Luk_3D":
Ricapitolando:
$w=(cos(x^2)+y^2)dx + (y/(y^3+1)+x^3/3)dy $
Così va meglio, meno male che avevi scritto di aver controllato i conti...
Diciamo che in tal caso l'integrale non pare impossibile, soprattutto con la parametrizzazione suggerita:
1. $ {(x=t),(y=0):} $
2. ${(x= \sqrt{1−t}),(y=t):} $
3. ${(x=0),(y=1−t):} $
"Luk_3D":
Che non è una forma esatta quindi resta svolgere:
$ int_0^1 (cos(t^2)+(1-t^2)^2) + ((1-t^2)/((1-t^2)^3+1)+t^3/3)*(-2t)dt $
Non mi risulta...
Comunque anche con la parametrizzazione suggerita l'integrale proposto è tutt'altro che semplice, si ha:
$\int_{\gamma} F \cdot \text{d}\gamma = \int_0^1 [F_1(x(t),y(t)) x'(t) + F_2(x(t), y(t))y'(t)] \text{d}t = $
$ = \int_0^1 [F_1(t,0) + F_2(t, 0)\cdot 0] \text{d}t + \int_0^1 [F_1(\sqrt{1−t},t) (-1)/(2 \sqrt{1−t}) + F_2(\sqrt{1−t}, t)] \text{d}t + $
$ + \int_0^1 [F_1(0,1 - t) \cdot 0 + F_2(0, 1 - t)\cdot (- 1)] \text{d}t = $
$ = \int_0^1 cos t^2 \text{d}t + \int_0^1 [(cos(1−t) + t^2) (-1)/(2 \sqrt{1−t}) + t/(t^3 + 1) +(sqrt{1 - t})^3/3] \text{d}t + $
$ + \int_0^1 (t - 1)/((1 - t)^3 + 1) \text{d}t = ... = $
$ = - 2/5 + 1/9 (\sqrt(3) \pi - ln8) + 1/9 (ln 8 - \sqrt(3) \pi) = -2/5 $
"pilloeffe":
[quote="Luk_3D"]Ricapitolando:
$w=(cos(x^2)+y^2)dx + (y/(y^3+1)+x^3/3)dy $
Così va meglio, meno male che avevi scritto di aver controllato i conti...
Diciamo che in tal caso l'integrale non pare impossibile, soprattutto con la parametrizzazione suggerita:
1. $ {(x=t),(y=0):} $
2. ${(x= \sqrt{1−t}),(y=t):} $
3. ${(x=0),(y=1−t):} $
"Luk_3D":
Che non è una forma esatta quindi resta svolgere:
$ int_0^1 (cos(t^2)+(1-t^2)^2) + ((1-t^2)/((1-t^2)^3+1)+t^3/3)*(-2t)dt $
Non mi risulta...
Comunque anche con la parametrizzazione suggerita l'integrale proposto è tutt'altro che semplice, si ha:
$\int_{\gamma} F \cdot \text{d}\gamma = \int_0^1 [F_1(x(t),y(t)) x'(t) + F_2(x(t), y(t))y'(t)] \text{d}t = $
$ = \int_0^1 [F_1(t,0) + F_2(t, 0)\cdot 0] \text{d}t + \int_0^1 [F_1(\sqrt{1−t},t) (-1)/(2 \sqrt{1−t}) + F_2(\sqrt{1−t}, t)] \text{d}t + $
$ + \int_0^1 [F_1(0,1 - t) \cdot 0 + F_2(0, 1 - t)\cdot (- 1)] \text{d}t = $
$ = \int_0^1 cos t^2 \text{d}t + \int_0^1 [(cos(1−t) + t^2) (-1)/(2 \sqrt{1−t}) + t/(t^3 + 1) +(sqrt{1 - t})^3/3] \text{d}t + $
$ + \int_0^1 (t - 1)/((1 - t)^3 + 1) \text{d}t = ... = $
$ = - 2/5 + 1/9 (\sqrt(3) \pi - ln8) + 1/9 (ln 8 - \sqrt(3) \pi) = -2/5 $[/quote]
Grazie mille, complimenti per essere riuscito a svolgere i calcoli, veramente un bell'esercizio per una prova di esame considerando gli integrali:
$ int_0^1 (-cos(1−t))/(2 \sqrt{1−t}) \text{d}t $
$ int_0^1 t/(t^3 + 1) \text{d}t $
"Luk_3D":
Grazie mille, complimenti per essere riuscito a svolgere i calcoli, veramente un bell'esercizio per una prova di esame
Prego! Beh, diciamo che se fossi un docente universitario (cosa che non sono) non avrei inserito un esercizio del genere in una prova d'esame, ma magari in un'esercitazione, a meno che per qualche motivo non decida di avere un numero ridotto di candidati che accedano alla prova orale...
"Luk_3D":
considerando gli integrali:
$\int_0^1 (-cos(1−t))/(2\sqrt{1 - t})\text{d}t $
Il diavolo non è poi così brutto come lo si dipinge: se in questo integrale che hai scritto (e conviene farlo anche nell'ultimo...) poni $1 - t := u^2 $ ottieni un integrale opposto al primo, pertanto si elidono. In caso contrario sarebbe stato necessario ricorrere alla funzione speciale coseno integrale di Fresnel:
$C_1(x) := C(\sqrt{2/\pi}x) = \sqrt{2/\pi} \int_0^x cost^2 \text{d}t \implies \int_0^1 cos t^2 \text{d}t = \sqrt{\pi/2} C(\sqrt{2/\pi}) $
$ $
"pilloeffe":
[quote="Luk_3D"]Grazie mille, complimenti per essere riuscito a svolgere i calcoli, veramente un bell'esercizio per una prova di esame
Prego! Beh, diciamo che se fossi un docente universitario (cosa che non sono) non avrei inserito un esercizio del genere in una prova d'esame, ma magari in un'esercitazione, a meno che per qualche motivo non decida di avere un numero ridotto di candidati che accedano alla prova orale...
"Luk_3D":
considerando gli integrali:
$\int_0^1 (-cos(1−t))/(2\sqrt{1 - t})\text{d}t $
Il diavolo non è poi così brutto come lo si dipinge: se in questo integrale che hai scritto (e conviene farlo anche nell'ultimo...) poni $1 - t := u^2 $ ottieni un integrale opposto al primo, pertanto si elidono. In caso contrario sarebbe stato necessario ricorrere alla funzione speciale coseno integrale di Fresnel:
$C_1(x) := C(\sqrt{2/\pi}x) = \sqrt{2/\pi} \int_0^x cost^2 \text{d}t \implies \int_0^1 cos t^2 \text{d}t = \sqrt{\pi/2} C(\sqrt{2/\pi}) $
$ $[/quote]
Scusami ma non capisco come si dovrebbero elidere:
Il primo:
$int_0^1 cos (t^2) \text{d}t$
Il secondo:
$int_0^1 cos (u^2) \text{d}u$
Utilizzano variabili diverse e sono entrambi positivi, nel caso in cui facessi per sostituzione $u^2=1-t$ anche il primo mi allontanerei dalla soluzione:
$int_0^1 cos ((1-u)^2)*(-2u) \text{d}u$
Innanzitutto, perché rispondi ai post col pulsante "CITA?
Tranne nei pochissimi casi in cui ciò è realmente necessario, citare tutto il messaggio che precede appesantisce inutilmente il thread: rispondi col pulsante RISPONDI che trovi in fondo alla pagina.
Il fatto che gli integrali utilizzino variabili diverse è irrilevante: la variabile in un integrale è "muta", infatti nel corso di Analisi Matematica II ci facevano spesso scrivere $\int f(*)\text{d}(*) $
Per quanto riguarda il secondo integrale poi hai fatto male i conti, infatti posto $1 - t := u^2 \implies \text{d}u = (- \text{d}t)/(2sqrt(1 - t))$; per $t = 0 \implies u = 1$, mentre per $t = 1 \implies u = 0$, per cui si ha:
$\int_0^1 (-cos(1−t))/(2\sqrt{1 - t})\text{d}t = \int_1^0 cos u^2\text{d}u = - \int_0^1 cos u^2 \text{d}u$
Tranne nei pochissimi casi in cui ciò è realmente necessario, citare tutto il messaggio che precede appesantisce inutilmente il thread: rispondi col pulsante RISPONDI che trovi in fondo alla pagina.
Il fatto che gli integrali utilizzino variabili diverse è irrilevante: la variabile in un integrale è "muta", infatti nel corso di Analisi Matematica II ci facevano spesso scrivere $\int f(*)\text{d}(*) $
Per quanto riguarda il secondo integrale poi hai fatto male i conti, infatti posto $1 - t := u^2 \implies \text{d}u = (- \text{d}t)/(2sqrt(1 - t))$; per $t = 0 \implies u = 1$, mentre per $t = 1 \implies u = 0$, per cui si ha:
$\int_0^1 (-cos(1−t))/(2\sqrt{1 - t})\text{d}t = \int_1^0 cos u^2\text{d}u = - \int_0^1 cos u^2 \text{d}u$
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