Integrale $ int_(a)^(b) |(c-f(x))| dx $
...
Risposte
Derivando il risultato, ove possibile, si ottiene effettivamante la funzione integranda, ma c'è un piccolo problema, la funzione $sign(c-f(x))$ non è derivabile ovunque. Se la funzione $c-f(x)$ è continua nel suo dominio e varia segno in esso, allora $sign(c-f(x))$ è discontinua in tutti i punti per i quali $c-f(x)=0$, e quindi non derivabile. In tal caso vengono violate le condizioni per utilizzare l'integrazione per parti.
Salvo aver detto un mare di idiozie.
Salvo aver detto un mare di idiozie.
Ciao Mathematico grazie della tua risposta, hai ragione, come ho fatto a non pensarci!
a questo punto mi domando come fare a risolvere questo integrale?Qualche idea?
a questo punto mi domando come fare a risolvere questo integrale?Qualche idea?
Beh, io scriverei il valore assoluto in questo modo:
$|c-f(x)|={(c-f(x)," se " c>=f(x)),(f(x)-c," se " c=f(x)),(F(x)-cx+k," se " c
Ogni volta che incontro questo tipo di integrali indefiniti, qualcosa mi perplime. Intendo dire che per me non hanno molto senso e li risolvo a modo mio, non sapendo nemmeno se ciò che scrivo è corretto. Se l'integrale fosse definito le cose sarebbero molto diverse. Solo io ho questa impressione?
. Ad ogni modo aspetta che arrivi qualcuno che ci sbrogli da questa situazione 
$|c-f(x)|={(c-f(x)," se " c>=f(x)),(f(x)-c," se " c
Ogni volta che incontro questo tipo di integrali indefiniti, qualcosa mi perplime. Intendo dire che per me non hanno molto senso e li risolvo a modo mio, non sapendo nemmeno se ciò che scrivo è corretto. Se l'integrale fosse definito le cose sarebbero molto diverse. Solo io ho questa impressione?
. Ad ogni modo aspetta che arrivi qualcuno che ci sbrogli da questa situazione
...
Mmm, boh. Non capisco perchè tu abbia questa fissa per l'integrazione per parti. Così in generale senza sapere l'espressione analitica di [tex]f[/tex] mi viene difficile aiutarti sinceramente. Così a senso, quindi non prenderlo come oro colato, procederei in questo modo:
Siano:
[tex]A=\left\{x\in \mathbb{R}| c- f(x)>0\right\}[/tex]
[tex]B=\left\{x\in \mathbb{R}| c- f(x)<0\right\}[/tex]
[tex]N=\left\{x\in \mathbb{R}| c- f(x)=0\right\}[/tex]
L'integrale
\[\int_{\mathbb{R}} |c-f(x)|dx = \int_{A} c-f(x) dx +\int_{B} f(x)-c dx + \int_{N} 0 dx\]
Sono un po' imbarazzato, non riesco a capire il tuo problema, vuoi costruire una teoria generale su questo tipo di integrali?
PS: Mi aspetto che i moderatori vengano qui a picchiarmi a sangue... Perchè questo mi merito
Siano:
[tex]A=\left\{x\in \mathbb{R}| c- f(x)>0\right\}[/tex]
[tex]B=\left\{x\in \mathbb{R}| c- f(x)<0\right\}[/tex]
[tex]N=\left\{x\in \mathbb{R}| c- f(x)=0\right\}[/tex]
L'integrale
\[\int_{\mathbb{R}} |c-f(x)|dx = \int_{A} c-f(x) dx +\int_{B} f(x)-c dx + \int_{N} 0 dx\]
Sono un po' imbarazzato, non riesco a capire il tuo problema, vuoi costruire una teoria generale su questo tipo di integrali?
PS: Mi aspetto che i moderatori vengano qui a picchiarmi a sangue... Perchè questo mi merito
Ciao Mathematico, è vero sembrerebbe più facile risolvere l'integrale nel modo spiegato da te, ma...
1) sarebbe necessario conoscere l'andamento della funzione f(x), quindi dovrei, prima di risolvere l'integrale, effettuare uno studio della funzione.
2) qunad'anche l'avessi fatto, non è detto che sia tutto rosa e fiori, immaginati tanti mini intervalli positivi e negativi che si alternano lungo tutto R. Diventerebbe compicato se non impossibile isolarli, o mi sbaglio?
Vorrei risolvere questo tipo di integrale senza aver bisogno di fare tutto quest'iter precedintemente.
La mia curiosità nasce dal fatto che tramite la generalizzazione della derivata della funzione segno, ovvero grazie all'impiego della delta di Dirac, si dovrebbe magicamente risolvere il problema mediante integrazione per parti. ma ho forti dubbi...
1) sarebbe necessario conoscere l'andamento della funzione f(x), quindi dovrei, prima di risolvere l'integrale, effettuare uno studio della funzione.
2) qunad'anche l'avessi fatto, non è detto che sia tutto rosa e fiori, immaginati tanti mini intervalli positivi e negativi che si alternano lungo tutto R. Diventerebbe compicato se non impossibile isolarli, o mi sbaglio?
Vorrei risolvere questo tipo di integrale senza aver bisogno di fare tutto quest'iter precedintemente.
La mia curiosità nasce dal fatto che tramite la generalizzazione della derivata della funzione segno, ovvero grazie all'impiego della delta di Dirac, si dovrebbe magicamente risolvere il problema mediante integrazione per parti. ma ho forti dubbi...
Il metodo di approccio di mathematico mi sembra quello milgiore. Però mi pongo alcune domande: 1) cosa sai riguardo la regolarità della funzione [tex]$f$[/tex]? 2) se si avesse [tex]$\lim_{x\to\pm\infty} |c-f(x)|\ne 0$[/tex], quell'integrale divergerebbe sicuramente, per cui quetsa è una considerazione da tenere in conto.
giusto ciampax, hai ragione adesso modifico, lil motivo per cui ho inserito quei due limiti era semplicemente per permettere l'utilizzo della delta di Dirac ma non credo che non possa funzione se introducessi due limiti finiti a destra ed a sinistra
"gabriele81":
giusto ciampax, hai ragione adesso modifico, lil motivo per cui ho inserito quei due limiti era semplicemente per permettere l'utilizzo della delta di Dirac ma non credo che non possa funzione se introducessi due limiti definiti a destra ed a sinistra
Non ho capito!
...
Confesso di aver solo dato un'occhiata rapida al thread, ma mi sembra che, alla fine, gabriele voglia solo sapere se si può calcolare esplicitamente una primitiva di $|f|$ se è nota una primitiva $F$ di $f$ (la costante $c$ è ininfluente quindi la ometto).
Se $f$ è Lipschitziana, anche $|f|$ lo è; una sua primitiva (nella classe delle funzioni assolutamente continue) è
$G(x) = F(x) \cdot sign(f(x))$.
Se $f$ è Lipschitziana, anche $|f|$ lo è; una sua primitiva (nella classe delle funzioni assolutamente continue) è
$G(x) = F(x) \cdot sign(f(x))$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo