Integrale indefinito (semplice)
Ciao a tutti!
So che forse è semplicissimo ma non riesco a capire come risolvere l'integrale indefinito di questa funzione:
1/(x^2-9)
So che al denominatore si può scomporre in:
1/((x-3)(x+3))
Solo che dopo non so proprio come andare avanti e per tutti gli esercizi di questo tipo ho questo problema...(come anche per l'integrale della funzione (2x-3)/(x^2-4x+3) )
Il testo mi riporta questo risultato:
1/6*ln|x-3| -1/6*ln|x+3| + c
Vi prego, sapete dirmi quali sono i passaggi?
Grazie mille davvero!!
So che forse è semplicissimo ma non riesco a capire come risolvere l'integrale indefinito di questa funzione:
1/(x^2-9)
So che al denominatore si può scomporre in:
1/((x-3)(x+3))
Solo che dopo non so proprio come andare avanti e per tutti gli esercizi di questo tipo ho questo problema...(come anche per l'integrale della funzione (2x-3)/(x^2-4x+3) )
Il testo mi riporta questo risultato:
1/6*ln|x-3| -1/6*ln|x+3| + c
Vi prego, sapete dirmi quali sono i passaggi?
Grazie mille davvero!!
Risposte
$1/(x^2-9)=A/(x+3)+B/(x-3)$...
Ok..
$(A(x-3)+B(x+3))/((x-3)(x+3))$ =
= $(Ax-3A+Bx+3B)/((x-3)(x+3))$
ma poi come procedo?
$(A(x-3)+B(x+3))/((x-3)(x+3))$ =
= $(Ax-3A+Bx+3B)/((x-3)(x+3))$
ma poi come procedo?
"Chiara87":
Ok..
$(A(x-3)+B(x+3))/((x-3)(x+3))$ =
= $(Ax-3A+Bx+3B)/((x-3)(x+3))$
ma poi come procedo?
$(A(x-3)+B(x+3))/((x-3)(x+3))=1/(x^2-9)->A(x-3)+B(x+3)=1->x(A+B)-3A+3B=1->{(A+B=0),(-3A+3B=1):}->{(A=-1/6),(B=1/6):}$ per cui
$int1/(x^2-9)dx=-1/6int1/(x+3)dx+1/6int1/(x-3)dx=1/6ln|x-3|-1/6ln|x+3|+k=1/6ln|(x-3)/(x+3)|+k$
"Chiara87":
Ciao a tutti!
So che forse è semplicissimo ma non riesco a capire come risolvere l'integrale indefinito di questa funzione:
1/(x^2-9)
So che al denominatore si può scomporre in:
1/((x-3)(x+3))
Solo che dopo non so proprio come andare avanti e per tutti gli esercizi di questo tipo ho questo problema...(come anche per l'integrale della funzione (2x-3)/(x^2-4x+3) )
Il testo mi riporta questo risultato:
1/6*ln|x-3| -1/6*ln|x+3| + c
Vi prego, sapete dirmi quali sono i passaggi?
Grazie mille davvero!!
$int(2x-3)/(x^2-4x+3)dx=int(2x-3)/((x-3)(x-1))dx=int(2x-4)/(x^2-4x+3)dx+int1/((x-3)(x-1))dx=ln|x^2-4x+3|+int1/((x-3)(x-1))dx$
Ora
$int1/((x-3)(x-1))dx=intA/(x-3)dx+intB/(x-1)dx$ per cui
$A(x-1)+B(x-3)=1->{(A+B=0),(-A-3B=1):}->{(A=1/2),(B=-1/2):}$ per cui
$int(2x-3)/(x^2-4x+3)dx=ln|x^2-4x+3|+1/2ln|(x-3)/(x-1)|+k$
"nicola de rosa":
[quote="Chiara87"]Ok..
$(A(x-3)+B(x+3))/((x-3)(x+3))$ =
= $(Ax-3A+Bx+3B)/((x-3)(x+3))$
ma poi come procedo?
$(A(x-3)+B(x+3))/((x-3)(x+3))=1/(x^2-9)->A(x-3)+B(x+3)=1->x(A+B)-3A+3B=1->{(A+B=0),(-3A+3B=1):}->{(A=-1/6),(B=1/6):}$ per cui
$int1/(x^2-9)dx=-1/6int1/(x+3)dx+1/6int1/(x-3)dx=1/6ln|x-3|-1/6ln|x+3|+k=1/6ln|(x-3)/(x+3)|+k$[/quote]
Perfetto!! grazie 1000!!
Ora provo a fare il secondo!
"nicola de rosa":
[quote="Chiara87"]Ciao a tutti!
So che forse è semplicissimo ma non riesco a capire come risolvere l'integrale indefinito di questa funzione:
1/(x^2-9)
So che al denominatore si può scomporre in:
1/((x-3)(x+3))
Solo che dopo non so proprio come andare avanti e per tutti gli esercizi di questo tipo ho questo problema...(come anche per l'integrale della funzione (2x-3)/(x^2-4x+3) )
Il testo mi riporta questo risultato:
1/6*ln|x-3| -1/6*ln|x+3| + c
Vi prego, sapete dirmi quali sono i passaggi?
Grazie mille davvero!!
$int(2x-3)/(x^2-4x+3)dx=int(2x-3)/((x-3)(x-1))dx=int(2x-4)/(x^2-4x+3)dx+int1/((x-3)(x-1))dx=ln|x^2-4x+3|+int1/((x-3)(x-1))dx$
Ora
$int1/((x-3)(x-1))dx=intA/(x-3)dx+intB/(x-1)dx$ per cui
$A(x-1)+B(x-3)=1->{(A+B=0),(-A-3B=1):}->{(A=1/2),(B=-1/2):}$ per cui
$int(2x-3)/(x^2-4x+3)dx=ln|x^2-4x+3|+1/2ln|(x-3)/(x-1)|+k$[/quote]
per il secondo però il testo mi riporta questo risultato: $1/2 ln|x-1| + 3/2 ln|x-3| + c
il primo logaritmo lo pui vedere come la somma dei 2 prodotti, e sommati all'altro ti esce i $3/2$
cmq se lo fai con lo stesso procedimento di quello di prima vedrai che torna
cmq se lo fai con lo stesso procedimento di quello di prima vedrai che torna
magari sono stato un pò troppo frettoloso
per spiegarti meglio la proprieta dei logaritmi ti dice che (a) il log di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi, mentre il (b)log di un rapporto alla differenza dei log:
(a) $log(a*b)=log a + log b$
(b) $log(a/b)=log a - log b$
se la applichi all'integrale fatto da nicola ottieni proprio il risultato del libro:
$log(x^2-4x+3)+=log((x-3)(x-1))=log(x-3)+log(x-1)+1/2log(x-3)-1/2log(x-1)=\mbox{sommando i logaritmi con l'argomento comune}=1/2log(x-1)+3/2ln(x-3)$
per spiegarti meglio la proprieta dei logaritmi ti dice che (a) il log di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi, mentre il (b)log di un rapporto alla differenza dei log:
(a) $log(a*b)=log a + log b$
(b) $log(a/b)=log a - log b$
se la applichi all'integrale fatto da nicola ottieni proprio il risultato del libro:
$log(x^2-4x+3)+=log((x-3)(x-1))=log(x-3)+log(x-1)+1/2log(x-3)-1/2log(x-1)=\mbox{sommando i logaritmi con l'argomento comune}=1/2log(x-1)+3/2ln(x-3)$
"Chiara87":
[quote="nicola de rosa"][quote="Chiara87"]Ciao a tutti!
So che forse è semplicissimo ma non riesco a capire come risolvere l'integrale indefinito di questa funzione:
1/(x^2-9)
So che al denominatore si può scomporre in:
1/((x-3)(x+3))
Solo che dopo non so proprio come andare avanti e per tutti gli esercizi di questo tipo ho questo problema...(come anche per l'integrale della funzione (2x-3)/(x^2-4x+3) )
Il testo mi riporta questo risultato:
1/6*ln|x-3| -1/6*ln|x+3| + c
Vi prego, sapete dirmi quali sono i passaggi?
Grazie mille davvero!!
$int(2x-3)/(x^2-4x+3)dx=int(2x-3)/((x-3)(x-1))dx=int(2x-4)/(x^2-4x+3)dx+int1/((x-3)(x-1))dx=ln|x^2-4x+3|+int1/((x-3)(x-1))dx$
Ora
$int1/((x-3)(x-1))dx=intA/(x-3)dx+intB/(x-1)dx$ per cui
$A(x-1)+B(x-3)=1->{(A+B=0),(-A-3B=1):}->{(A=1/2),(B=-1/2):}$ per cui
$int(2x-3)/(x^2-4x+3)dx=ln|x^2-4x+3|+1/2ln|(x-3)/(x-1)|+k$[/quote]
per il secondo però il testo mi riporta questo risultato: $1/2 ln|x-1| + 3/2 ln|x-3| + c[/quote]
è un diverso modo di scrivere, e te lo mostro:
$ln|x^2-4x+3|+1/2ln|(x-3)/(x-1)|=ln|(x-1)(x-3)|+ln|((x-3)/(x-1))^(1/2)|=ln|(x-1)(x-3)*((x-3)/(x-1))^(1/2)|=ln|(x-3)^(3/2)(x-1)^(1/2)|=ln|(x-3)^(3/2)|+ln|(x-1)^(1/2)|=3/2ln|x-3|+1/2ln|x-1|$
si è vero, hai ragione!
$int(2x-3)/(x^2-4x+3)dx=int(2x-3)/((x-3)(x-1))
Quindi
$int(2x-3)/((x-3)(x-1))dx=intA/(x-3)dx+intB/(x-1)dx$ per cui
$A(x-1)+B(x-3)=2x-3->Ax-A+Bx-3B=2x-3->x(A+B)-A-3B=2x-3->{(A+B=2),(-A-3B=-3):}->{(A=3/2),(B=1/2):}$
Quindi:
$int(2x-3)/(x^2-4x+3)dx=3/2ln|x-3|+1/2ln|x-1|+c$
grazie a tutti
!
$int(2x-3)/(x^2-4x+3)dx=int(2x-3)/((x-3)(x-1))
Quindi
$int(2x-3)/((x-3)(x-1))dx=intA/(x-3)dx+intB/(x-1)dx$ per cui
$A(x-1)+B(x-3)=2x-3->Ax-A+Bx-3B=2x-3->x(A+B)-A-3B=2x-3->{(A+B=2),(-A-3B=-3):}->{(A=3/2),(B=1/2):}$
Quindi:
$int(2x-3)/(x^2-4x+3)dx=3/2ln|x-3|+1/2ln|x-1|+c$
grazie a tutti
!
Ho un altro problema...mi sapete dire perchè questo integrale:
$int(cosx)^2 dx$
dà come risultato: $1/2senxcosx+1/2x + c$ ?
$int(cosx)^2 dx$
dà come risultato: $1/2senxcosx+1/2x + c$ ?
Devi integrare per parti...
poni $f(x)=cos(x)$ e $g'(x)=cos(x)$, poi lavori come al solito, applicando opportunamente la relazione $(sin(x))^2=1-(cos(x))^2$
In particolare:
$\int(cos(x))^2dx=sin(x)cos(x)+\int(sin(x))^2dx=sin(x)cos(x)+\int1dx-\int(cos(x))^2dx
Adesso puoi concludere l'esercizio in due passaggi al massimo
poni $f(x)=cos(x)$ e $g'(x)=cos(x)$, poi lavori come al solito, applicando opportunamente la relazione $(sin(x))^2=1-(cos(x))^2$
In particolare:
$\int(cos(x))^2dx=sin(x)cos(x)+\int(sin(x))^2dx=sin(x)cos(x)+\int1dx-\int(cos(x))^2dx
Adesso puoi concludere l'esercizio in due passaggi al massimo
Ti spiego..l'esercizio che devo risolvere in realtà è questo:
$int(senx)^2 dx$
Quindi applicando la regola dell'integrazione per parti:
f(x)=senx f'(x)=cosx
g'(x)=senx g(x)=-cosx
$-senxcosx + int(cosx)^2$
facendo ancora l'integrale per parti di $int(cosx)^2$ torno al punto da capo:
f(x)=cosx f'(x)=-senx
g'(x)=cosx g(x)=senx
$-cosxsenx + int(senx)^2 dx$
come faccio a risolverlo? Quella legge trigonometrica dove la applico?
$int(senx)^2 dx$
Quindi applicando la regola dell'integrazione per parti:
f(x)=senx f'(x)=cosx
g'(x)=senx g(x)=-cosx
$-senxcosx + int(cosx)^2$
facendo ancora l'integrale per parti di $int(cosx)^2$ torno al punto da capo:
f(x)=cosx f'(x)=-senx
g'(x)=cosx g(x)=senx
$-cosxsenx + int(senx)^2 dx$
come faccio a risolverlo? Quella legge trigonometrica dove la applico?
Io in questi casi sfrutto sempre le formule di duplicazione del coseno:
$cos(2x)=cos^2x-sin^2x=>{(cos^2x=(cos(2x)+1)/2),(sin^2x=(1-cos(2x))/2):}$
$cos(2x)=cos^2x-sin^2x=>{(cos^2x=(cos(2x)+1)/2),(sin^2x=(1-cos(2x))/2):}$
Nota che:
$\int(sin(x))^2dx=\int1dx-\int(cos(x))^2dx=x-1/2*sin(x)*cos(x)-1/2x=x/2-(sin(x)cos(x))/2$
$\int(sin(x))^2dx=\int1dx-\int(cos(x))^2dx=x-1/2*sin(x)*cos(x)-1/2x=x/2-(sin(x)cos(x))/2$
"matths87":
Nota che:
$\int(sin(x))^2dx=\int1dx-\int(cos(x))^2dx=x-1/2*sin(x)*cos(x)-1/2x=x/2-(sin(x)cos(x))/2$
Ok, ma non capisco perchè:
$int(cos(x))^2 dx$ = $1/2sen(x)cos(x)+1/2x + c$
quali sono i passaggi?
"matths87":
Devi integrare per parti...
poni $f(x)=cos(x)$ e $g'(x)=cos(x)$, poi lavori come al solito, applicando opportunamente la relazione $(sin(x))^2=1-(cos(x))^2$
In particolare:
$\int(cos(x))^2dx=sin(x)cos(x)+\int(sin(x))^2dx=sin(x)cos(x)+\int1dx-\int(cos(x))^2dx
Adesso puoi concludere l'esercizio in due passaggi al massimo
Devi portare il fattore $-\int(cos(x))^2dx$ a sinistra dell'equazione, in maniera da avere
$2\int(cos(x))^2dx=sin(x)cos(x)+\int1dx$
dividi tutto per due e hai risolto il tuo integrale
"Chiara87":
[quote="matths87"]Nota che:
$\int(sin(x))^2dx=\int1dx-\int(cos(x))^2dx=x-1/2*sin(x)*cos(x)-1/2x=x/2-(sin(x)cos(x))/2$
Ok, ma non capisco perchè:
$int(cos(x))^2 dx$ = $1/2sen(x)cos(x)+1/2x + c$
quali sono i passaggi?[/quote]
$cos^2(x)=1/2+1/2cos(2x)$ per cui
$intcos^2(x)dx=int1/2dx+int1/2cos(2x)dx=1/2x+1/4sin(2x)+k=1/2x+1/4*(2sin(x)cos(x))+k=1/2x+1/2sin(x)cos(x)+k$
"nicola de rosa":
[quote="Chiara87"][quote="matths87"]Nota che:
$\int(sin(x))^2dx=\int1dx-\int(cos(x))^2dx=x-1/2*sin(x)*cos(x)-1/2x=x/2-(sin(x)cos(x))/2$
Ok, ma non capisco perchè:
$int(cos(x))^2 dx$ = $1/2sen(x)cos(x)+1/2x + c$
quali sono i passaggi?[/quote]
$cos^2(x)=1/2+1/2cos(2x)$ per cui
$intcos^2(x)dx=int1/2dx+int1/2cos(2x)dx=1/2x+1/4sin(2x)+k=1/2x+1/4*(2sin(x)cos(x))+k=1/2x+1/2sin(x)cos(x)+k$[/quote]
Grazie!! Con il metodo delle formule di duplicazione ho capito!!
matths, il tuo metodo mi sembra più veloce ma non mi è ancora molto chiaro però..!
Il mio metodo, in sintesi, è il seguente:
1) osservo che $\int(sin(x))^2dx=\int1dx-\int(cos(x))^2dx$
2) calcolo a parte $\int(cos(x))^2dx$
3) sostituisco nell'equazione del passaggio 1)
1) osservo che $\int(sin(x))^2dx=\int1dx-\int(cos(x))^2dx$
2) calcolo a parte $\int(cos(x))^2dx$
3) sostituisco nell'equazione del passaggio 1)
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