Integrale indefinito fratto con radice

[JoinMeet90]

Ciao, avrei delle difficolta nella risoluzione del seguente integrale indefinito
$\int \frac{\sqrt{e^x+16}}{12+e^x}dx $

Io ho iniziato a risolverlo per sostituzione, ponendo
$\sqrt{e^x+16}=t$
$e^x=t^2-16$
$x=ln(t^2-16)$

$dx=\frac{2t}{t^2-16}dt$

Ora si ottiene
$\int \frac{t}{12+t^2-16}\frac{2t}{t^2-16}dt $

Per la proprietà degli integrali porto fuori la costante 2 e ottengo
$2\int \frac{t}{t^2-4}\frac{t}{t^2-16}dt $

A questo punto non so più come procedere.

Il risolutore online mi da come risultato
$\frac{1}{3}arctg(\frac{\sqrt{e^x+16}}{2})-\frac{2}{3}arctg(\frac{\sqrt{e^x+16}}{4})$

Qualcono potrebbe darmi una mano?

[Antimius]

Si risolve in maniera standard, determinando coefficienti $a_i$ tali che:
$$\frac{t^2}{(t^2-4)(t^2-16)} = \frac{a_1}{t+4} + \frac{a_2}{t-4} + \frac{a_3}{t+16} + \frac{a_4}{t-16}$$

[JoinMeet90]

Grazie per la risposta, quindi in questo modo dovrei ottenere la somma di quattro logaritmi diversi, ed é corretto in quanto ho verificato sul risolutore online.
Ma allora com'è possibile che il risultato possa anche essere dato dalla somma di due arcotangenti?

[Berationalgetreal]

Sono "arcotangenti" iperboliche, anche se questa è una dicitura abbastanza impropria. Purtroppo, alcuni si ostinano a scrivere \( \text{arctanh} \) invece di \( \text{artanh } \).