Integrale indefinito esame Analisi 1

[Walter97lor]

Salve, qualcuno sa risolvere questo integrale indefinito? Io intuisco sia per parti ma nel momento in cui integro la funzione 3/(((3x)^2)+1)*(-1/x) mi blocco, ragionando secondo me si risolve con i numeri complessi che tuttavia non ho ancora avuto modo di affrontare. Grazie a chi la risolverà!

[@melia]

È questo l'integrale?
$int 3/(((3x)^2)+1)*(-1/x) dx$

[Walter97lor]

esattamente

[@melia]

Allora niente per parti, nè complessi, si scompone in fratti semplici:
$3/(((3x)^2)+1)*(-1/x) = -3/(x((3x)^2+1)) = A/x+(B*D[9x^2+1]+C)/(9x^2+1)=A/x+(18Bx+C)/(9x^2+1)=$
$=(9Ax^2+A+18Bx^2+Cx)/(x*(9x^2+1))$ da cui

$A=-3$
$9A+18B=0 => B=3/2$
$C=0$


$int -3/(x((3x)^2+1)) dx= int -3/x dx + 3/2 int (18x)/(9x^2+1) dx= -3 ln |x| +3/2 ln (9x^2+1) +c$

[anto_zoolander]

a che ci sono mi infilo rimanendo in topic obv.

Ma se si volesse scomporre in fratti semplici, ma passando per i complessi, sarebbe possibile?

ad esempio scrivendolo come $x(9x^2+1)=x(3x+i)(3x-i)$ e scrivendo

$A/x+B/(3x+i)+C/(3x-i)$ ??

[Walter97lor]

Si scusami sono stato poco chiaro all'inizio. La funzione da integrare era arctg(3x)/(x^(2)). Ho chiesto di integrare la funzione sopracitata, che era derivante dall'integrazione per parti della funzione appena descritta. Scusami sono stato poco chiaro ed ho pensaato che la funzione che mi hai gentilmente integrato fosse risolvibile con numeri complessi o altri magheggi del genere.
Grazie ancora

[Walter97lor]

Non mi è molto chiara la motivazione per cui si moltiplica B*D(9x^(2)+1)+C

[anto_zoolander]

Mi è riuscito. La scrivo sperando di aiutare

$-int3/(x(9x^2+1))dx$

scrivo $x(9x^2+1) => x(9x^2-(-1)^2) => x(9x^2-i^2) => x(3x-i)(3x+i)$

$-int3/(x(3x+i)(3x-i))dx$

ora quindi mi riconduco all'identità di polinomi $3/(x(3x+i)(3x-i))=A/x+B/(3x+i)+C/(3x-i)$


$3/(x(3x+i)(3x-i))=(A(9x^2+1)+Bx(3x-i)+Cx(3x+i))/(x(3x+i)(3x-i))$


$3/(x(3x+i)(3x-i))=(9Ax^2+A+3Bx^2-Bix+3Cx^2+Cix)/(x(3x+i)(3x-i))$


$3/(x(3x+i)(3x-i))=((9A+3B+3C)x^2+A+(Ci-Bi)x)/(x(3x+i)(3x-i))$


ora imponiamo l'uguaglianza di ciascun termine dei due polinomi.

\begin{equation}
\begin{cases}
A=3\\27+3B+3C=0\\i(C-B)=0
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
A=3\\B=-C-9\\C-(-C-9)=0
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
A=3\\B=-9/2\\C=-9/2
\end{cases}
\end{equation}

quindi ora ritorniamo al nostro integrale, trovata l'uguaglianza.

$-int3/x-9/(2(3x+i))-9/(2(3x-i))dx$

$-3int1/xdx+int9/(2(3x+i))+9/(2(3x-i))dx$

il primo ha risoluzione immediata ed è $-3ln|x|+c_1$ concentriamoci sul secondo, unendo le due parti.

$int(9(3x-i)+9(3x+i))/(2(3x+i)(3x-i))dx$

$int(54x)/(2(9x^2+1))dx$

$27intx/(9x^2+1)dx$ ora basta far spuntare easy easy la derivata del denominatore

$27/18int(18x)/(9x^2+1)dx => 3/2ln|9x^2+1|+c_2$

soluzione(spero di non aver commesso errori inutili da latex, che già ne ho corretto uno.)

$-3ln|x|+3/2ln|9x^2+1|+c$

[@melia]

"Walter97lor":Non mi è molto chiara la motivazione per cui si moltiplica B*D(9x^(2)+1)+C

Ho moltiplicato $B$ per la derivata del denominatore per mettere in evidenza la forma che ha come integrale il logaritmo da un'eventuale (che qui non c'è perchè $C=0$) forma avente come integrale un arcotangente.

[Walter97lor]

Io non ero a conoscenza di questo stratagemma. Ho sempre saputo, almeno finora, che per ricondurci ad una derivata bisognasse moltiplicare e dividere, o sommare sottrarre, una stessa quantità perchè la funzioni non cambi. Quindi questo meccanismo mi è ancora un po' oscuro