Integrale indefinito con valore assoluto
dovrei calcolare il seguente integrale:
$\int (1-log|x|)/x dx$.
E' un integrale assegnato un pò di tempo fa nel compito del prof del mio corso. Io mi chiedo che senso ha mettere il valore assoluto. e in più come faccio a risolverlo. Cioè ho provato a porre per $x>0$ e per $x<0$ ma in quest'ultimo caso non ha nessun senso studiarsi l'integrale perchè x è negativo essendo x l'argomento dell'integrale. Però non appena tolgo il valore assoluto il risultato cambia (provato con derive). Che debbo fare? Io so che $\int |x| dx=(x|x|)/2+c$. Mi può essere d'aiuto?
$\int (1-log|x|)/x dx$.
E' un integrale assegnato un pò di tempo fa nel compito del prof del mio corso. Io mi chiedo che senso ha mettere il valore assoluto. e in più come faccio a risolverlo. Cioè ho provato a porre per $x>0$ e per $x<0$ ma in quest'ultimo caso non ha nessun senso studiarsi l'integrale perchè x è negativo essendo x l'argomento dell'integrale. Però non appena tolgo il valore assoluto il risultato cambia (provato con derive). Che debbo fare? Io so che $\int |x| dx=(x|x|)/2+c$. Mi può essere d'aiuto?
Risposte
La derivata di $log|x|$ è $1/x$, così come quella di $logx$, l'unica differenza è che nel primo caso la funzione esiste per ogni $x!=0$, nel secondo solo per $x>0$.
Nel tuo esercizio quindi il fatto che ci sia il valore assoluto non modifica lo svolgimento dell'esercizio, ma solo il suo dominio, infatti
$\int (1-log|x|)/x dx=int (1/x-1/x*log|x|)dx=log|x|-1/2*log^2 |x|+c$.
Nel tuo esercizio quindi il fatto che ci sia il valore assoluto non modifica lo svolgimento dell'esercizio, ma solo il suo dominio, infatti
$\int (1-log|x|)/x dx=int (1/x-1/x*log|x|)dx=log|x|-1/2*log^2 |x|+c$.
@melia ha perfettamente ragione (ci mancherebbe). Volevo però sottolineare questa frase:
Non ho capito... perché non puoi distinguere i due casi?!?? (Io avrei fatto proprio così, arrivando allo stesso risultato di @melia.) Perché l'argomento dell'integrale deve essere per forza positivo? E chi ti ha detto questa cavolata?
"mazzy89":
Cioè ho provato a porre per x>0 e per x<0 ma in quest'ultimo caso non ha nessun senso studiarsi l'integrale perchè x è negativo essendo x l'argomento dell'integrale.
Non ho capito... perché non puoi distinguere i due casi?!?? (Io avrei fatto proprio così, arrivando allo stesso risultato di @melia.) Perché l'argomento dell'integrale deve essere per forza positivo? E chi ti ha detto questa cavolata?
"@melia":
La derivata di $log|x|$ è $1/x$, così come quella di $logx$, l'unica differenza è che nel primo caso la funzione esiste per ogni $x!=0$, nel secondo solo per $x>0$.
Nel tuo esercizio quindi il fatto che ci sia il valore assoluto non modifica lo svolgimento dell'esercizio, ma solo il suo dominio, infatti
$\int (1-log|x|)/x dx=int (1/x-1/x*log|x|)dx=log|x|-1/2*log^2 |x|+c$.
grazie tante @melia per la tua collaborazione ma il risultato non è quello a cui sei pervenuto. Infatti io l'ho fatto con derive e il risultato è quello che dici tu nel caso non ci sia il valore assoluto. Per dissonance: è corretto scrivere $log (-x)$? L'argomento deve essere positivo
@ mazzy89: io lascerei stare Derive. Questi software di calcolo automatico non sono infallibili, e soprattutto loro effettuano le operazioni mediante regole di calcolo che non sono da prendere come la Bibbia dal punto di vista teorico.
Mi spiego meglio: la funzione $sin$ è invertibile? No, naturalmente, come funzione $RR\toRR$ non è invertibile. Ma se la restringiamo ad una funzione $[-pi/2, pi/2]\to[-1,1]$ allora è invertibile e la sua inversa è $arcsin$. Chiaro questo?
Se si, prova a chiedere a Derive (o a un qualunque altro software) di calcolare l'inversa della funzione $sin$. Vedrai che se ne uscirà con $arcsin$. Questo perché nel concreto uno i conti li fa così: se deve invertire il seno ha a disposizione l'arcoseno, da usare con la massima cautela e sempre tenendo presente la teoria.
Che cosa concludi? Che la funzione inversa di seno è arcoseno, solo perché te lo ha detto Derive?
Per controllare il risultato di una integrazione indefinita c'è un metodo semplice e infallibile. Deriva il risultato e controlla: salta fuori la funzione integranda? (Eventualmente questo controllo, assolutamente meccanico, lo puoi fare con Derive. Ma non fargli calcolare l'integrale.)
_________________________________
Riguardo la funzione $log(-x)$, ragionaci bene su. Qual'è l'insieme di definizione di questa funzione?
Mi spiego meglio: la funzione $sin$ è invertibile? No, naturalmente, come funzione $RR\toRR$ non è invertibile. Ma se la restringiamo ad una funzione $[-pi/2, pi/2]\to[-1,1]$ allora è invertibile e la sua inversa è $arcsin$. Chiaro questo?
Se si, prova a chiedere a Derive (o a un qualunque altro software) di calcolare l'inversa della funzione $sin$. Vedrai che se ne uscirà con $arcsin$. Questo perché nel concreto uno i conti li fa così: se deve invertire il seno ha a disposizione l'arcoseno, da usare con la massima cautela e sempre tenendo presente la teoria.
Che cosa concludi? Che la funzione inversa di seno è arcoseno, solo perché te lo ha detto Derive?
Per controllare il risultato di una integrazione indefinita c'è un metodo semplice e infallibile. Deriva il risultato e controlla: salta fuori la funzione integranda? (Eventualmente questo controllo, assolutamente meccanico, lo puoi fare con Derive. Ma non fargli calcolare l'integrale.)
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Riguardo la funzione $log(-x)$, ragionaci bene su. Qual'è l'insieme di definizione di questa funzione?
"dissonance":
@ mazzy89: io lascerei stare Derive. Questi software di calcolo automatico non sono infallibili, e soprattutto loro effettuano le operazioni mediante regole di calcolo che non sono da prendere come la Bibbia dal punto di vista teorico.
Mi spiego meglio: la funzione $sin$ è invertibile? No, naturalmente, come funzione $RR\toRR$ non è invertibile. Ma se la restringiamo ad una funzione $[-pi/2, pi/2]\to[-1,1]$ allora è invertibile e la sua inversa è $arcsin$. Chiaro questo?
Se si, prova a chiedere a Derive (o a un qualunque altro software) di calcolare l'inversa della funzione $sin$. Vedrai che se ne uscirà con $arcsin$. Questo perché nel concreto uno i conti li fa così: se deve invertire il seno ha a disposizione l'arcoseno, da usare con la massima cautela e sempre tenendo presente la teoria.
Che cosa concludi? Che la funzione inversa di seno è arcoseno, solo perché te lo ha detto Derive?
Per controllare il risultato di una integrazione indefinita c'è un metodo semplice e infallibile. Deriva il risultato e controlla: salta fuori la funzione integranda? (Eventualmente questo controllo, assolutamente meccanico, lo puoi fare con Derive. Ma non fargli calcolare l'integrale.)
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Riguardo la funzione $log(-x)$, ragionaci bene su. Qual'è l'insieme di definizione di questa funzione?
Infatti dissonance hai perfettamente ragione basta che si derivi il risultato dell'integrale per vedere se è giusto. Cosa che io ho fatto e mi spunta l'integrale di partenza. L'unica mia incertezza era appunto che il derive mi aveva dato un altro risultato. Perfetto allora è giusto il calcolo che avevo fatto. Ritornando alla funzione $logx$ il campo di esistenza di questa funzione è: $]0,+infty[$.
Eh, per $log\ x$ hai ragione. Ma io ti avevo chiesto $log(-x)$.
"dissonance":
Eh, per $log\ x$ hai ragione. Ma io ti avevo chiesto $log(-x)$.
Il campo di esistenza della funzione $log(-x)$ dovrebbe essere $]-infty,0[$. Giusto?
Esatto! E allora vedi che ha senso scrivere $log(-x)$?
"dissonance":
Esatto! E allora vedi che ha senso scrivere $log(-x)$?
Giusto giusto bastava rifletterci 1 secondo in più. Ti ringrazio tanto. Infatti io sono solito risolvere gli esercizi senza l'ausilio del derive ma usare il derive per effettuare una specie di prova del nove. Quando avevo visto il risultato differente dell'integrale con valore assoluto mi sono stranito.
Ma io ti dico che fai benissimo ad usare il Derive. Solo, non lo prendere per oro colato perché può capitare che ti spari una scemenza, o una imprecisione teorica. Ti puoi fidare dei risultati ottenuti solo quando sono esclusivamente meccanici: per esempio puoi fidarti di una derivata calcolata dal Derive. Oppure di una divisione tra polinomi, di un massimo comune divisore, della soluzione di un sistema di equazioni lineari e via discorrendo. Ma quando si tratta di integrali, tieni due occhi belli spalancati.
"dissonance":
Ma io ti dico che fai benissimo ad usare il Derive. Solo, non lo prendere per oro colato perché può capitare che ti spari una scemenza, o una imprecisione teorica. Ti puoi fidare dei risultati ottenuti solo quando sono esclusivamente meccanici: per esempio puoi fidarti di una derivata calcolata dal Derive. Oppure di una divisione tra polinomi, di un massimo comune divisore, della soluzione di un sistema di equazioni lineari e via discorrendo. Ma quando si tratta di integrali, tieni due occhi belli spalancati.
Ti ringrazio tanto per l'attenzione.
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