Integrale indefinito...
buon giorno a tutti avrei l'integrale indefinito: $int 1/x * sqrt(log^2x+4)dx$, io l'ho svolto in questo modo ma non so se il risultato è giusto:
applico la regola dell'integrazione per parti che serve quando abbiamo un ptodotto del genere: $int(f*g)dx$ e si applica la regoletta $int u*dv= u*v-int v*du$
dove $u$ è il fattore finito e $dv$ il fattore differenziale.....
dunque:
-1).il fattore finito è: $f.f.=$$u=1/x$ $ rarr$ $du=lnxdx$
-2). il fattore differenziale è: $f.d.=$ $dv= $ $sqrt(log^2x+4)dx$ $rarr int sqrt(log^2x+4)dx=$ $int (log^2x+4)^(1/2)dx=$ $int (log^2x+4)^(1/2)*d(log^2x+4)=$ $2/x(log^2x+4)^(1/2+1)/(1/2+1)+C= $ $2/x*(log^2x+4)^(3/2)/(3/2)+C= $ $2/x*2/3*(log^2x+4)^(3/2)+C=$ $4/(3x)*(log^2x+4)^(3/2)+C=$ $4/(3x)*sqrt((log^2x+4)^3)+C$
sono andato bene fino a qua?
applico la regola dell'integrazione per parti che serve quando abbiamo un ptodotto del genere: $int(f*g)dx$ e si applica la regoletta $int u*dv= u*v-int v*du$
dove $u$ è il fattore finito e $dv$ il fattore differenziale.....
dunque:
-1).il fattore finito è: $f.f.=$$u=1/x$ $ rarr$ $du=lnxdx$
-2). il fattore differenziale è: $f.d.=$ $dv= $ $sqrt(log^2x+4)dx$ $rarr int sqrt(log^2x+4)dx=$ $int (log^2x+4)^(1/2)dx=$ $int (log^2x+4)^(1/2)*d(log^2x+4)=$ $2/x(log^2x+4)^(1/2+1)/(1/2+1)+C= $ $2/x*(log^2x+4)^(3/2)/(3/2)+C= $ $2/x*2/3*(log^2x+4)^(3/2)+C=$ $4/(3x)*(log^2x+4)^(3/2)+C=$ $4/(3x)*sqrt((log^2x+4)^3)+C$
sono andato bene fino a qua?
Risposte
ehmmmm, diciamo così: non so proprio da dove cominciare a mettere le mani, questo metodo non l'ho mai visto fare.....
Guarda che ti ho elencato passo passo quello che devi fare!
Il senso di aggiungere la $a$ nella sostituzione sta nel fatto che poi la puoi raccogliere e far uscire dalla radice, così ti rimane solo il comodo $1$.
Il senso di aggiungere la $a$ nella sostituzione sta nel fatto che poi la puoi raccogliere e far uscire dalla radice, così ti rimane solo il comodo $1$.
così:
$int sqrt(a*sinh(t)+a^2)dt= int sqrt(a[sinh(t)+a])dt= int |a|sqrt(sinh(t)+1)dt$ ho fatto bene fino a qua?
$int sqrt(a*sinh(t)+a^2)dt= int sqrt(a[sinh(t)+a])dt= int |a|sqrt(sinh(t)+1)dt$ ho fatto bene fino a qua?
No, ti sei dimenticato di "far quadrare le cose" 
$x$ sotto il segno di radice è al quadrato!
$x$ sotto il segno di radice è al quadrato!
giusto, mi sono dimenticato un quadrato, dovrebbe essere così:
$int sqrt((a*sinh(t))^2+a^2)dt= int sqrt(a[(sinh(t))^2+a])dt= int |a|sqrt((sinh(t))^2+1)dt$
poi a se non sbaglio è una costante e la posso portare fuori l'integrale:
$|a| int |a|sqrt((sinh(t))^2+1)dt$ e adesso applico quel procedimento che facevo prima:
$|a| int sqrt((sinh(t))^2+1)dt= |a| int ((sinh(t))^2+1)^(1/2)dt= |a|*1/2 int ((sinh(t))^2+1)^(1/2)*d(sinh(t)^2+1)$?????
$int sqrt((a*sinh(t))^2+a^2)dt= int sqrt(a[(sinh(t))^2+a])dt= int |a|sqrt((sinh(t))^2+1)dt$
poi a se non sbaglio è una costante e la posso portare fuori l'integrale:
$|a| int |a|sqrt((sinh(t))^2+1)dt$ e adesso applico quel procedimento che facevo prima:
$|a| int sqrt((sinh(t))^2+1)dt= |a| int ((sinh(t))^2+1)^(1/2)dt= |a|*1/2 int ((sinh(t))^2+1)^(1/2)*d(sinh(t)^2+1)$?????
Va bene fino all'ultima riga, a metà: non ti sognare di fare quella cosa per parti, perché [tex]\sinh^2x+1[/tex] non è una quantità casuale... Dico bene??
no non lo è si è fatto in modo che si avesse una cosa del genere... ma allora devo fare l'integrale della somma è la somma degli integrali?
Non puoi spezzare perché c'è una radice!
Però puoi usare la relazione fondamentale delle funzioni iperboliche, cioè che [tex]\cosh^2x - \sinh^2 x = 1[/tex]
Però puoi usare la relazione fondamentale delle funzioni iperboliche, cioè che [tex]\cosh^2x - \sinh^2 x = 1[/tex]
ah si ho capito quindi esce:
$|a| int sqrt((sinh(t))^2+1)dt= |a| int ((sinh(t))^2+1)^(1/2)dt= |a|int (+cosh^2t-1+1)^(1/2)dt= |a|int (+cosh^2t)^(1/2)dt$
e adesso si deve trovare la primitiva del coseno iperbolico? giusto?
$|a| int sqrt((sinh(t))^2+1)dt= |a| int ((sinh(t))^2+1)^(1/2)dt= |a|int (+cosh^2t-1+1)^(1/2)dt= |a|int (+cosh^2t)^(1/2)dt$
e adesso si deve trovare la primitiva del coseno iperbolico? giusto?
Giusto, peraltro è un integrale immediato!
bhe si ma per me è ancora un pò complicato
ma posso applicare questa formula per svolgerlo: $int[f(x)]^n*f'(x)dx= int [f(x)]^2d[f(x)]=(f(x)^(n+1))/(n+1)+C$?
ma posso applicare questa formula per svolgerlo: $int[f(x)]^n*f'(x)dx= int [f(x)]^2d[f(x)]=(f(x)^(n+1))/(n+1)+C$?
No! Se non sai fare al volo le derivate delle funzioni iperboliche, scrivile con la loro definizione come semisomma (o semidifferenza) di esponenziali e fai la derivata di quelli! [È davvero banale come cosa!]
si si la so fare la derivata della funzione iperbolica, $D'=cosh^2t= 2sinh (t)$ però poi non sapevo come fare con $(...)^1/2$
No, mi accorgo ora che hai fatto un sacco di confusione!
Dopo aver fatto il gioco della sostituzione ti rimane [tex]\sqrt{\cosh^2t} = \cosh t[/tex]. Quindi devi solo integrare quello!
Dopo aver fatto il gioco della sostituzione ti rimane [tex]\sqrt{\cosh^2t} = \cosh t[/tex]. Quindi devi solo integrare quello!
giusto non ci avevo pensato a questa cosa quindi viene $|a|*sinh(t)+C$....
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