Integrale indefinito...

[kioccolatino90]

buon giorno a tutti avrei l'integrale indefinito: $int 1/x * sqrt(log^2x+4)dx$, io l'ho svolto in questo modo ma non so se il risultato è giusto:

applico la regola dell'integrazione per parti che serve quando abbiamo un ptodotto del genere: $int(f*g)dx$ e si applica la regoletta $int u*dv= u*v-int v*du$
dove $u$ è il fattore finito e $dv$ il fattore differenziale.....

dunque:

-1).il fattore finito è: $f.f.=$$u=1/x$ $ rarr$ $du=lnxdx$

-2). il fattore differenziale è: $f.d.=$ $dv= $ $sqrt(log^2x+4)dx$ $rarr int sqrt(log^2x+4)dx=$ $int (log^2x+4)^(1/2)dx=$ $int (log^2x+4)^(1/2)*d(log^2x+4)=$ $2/x(log^2x+4)^(1/2+1)/(1/2+1)+C= $ $2/x*(log^2x+4)^(3/2)/(3/2)+C= $ $2/x*2/3*(log^2x+4)^(3/2)+C=$ $4/(3x)*(log^2x+4)^(3/2)+C=$ $4/(3x)*sqrt((log^2x+4)^3)+C$

sono andato bene fino a qua?

[piero_1]

ciao
la sostituzione [tex]lnx=t[/tex] dovrebbe funzionare.
facci sapere

[kioccolatino90]

ciao piero_ scusami avevo cliccato per sbaglio Invia anzichè Anteprima, e il messaggio è comparso solo all'inizio...
Ma devo sostituire nella radice? io ho fatto la regola che ho descritto sopra, va bene? ache se mi rendo conto che è un pò lungo cm procedimento....

[piero_1]

"domy90":...il messaggio è comparito solo dall'inizio...

comparso.

prova a postare la soluzione finale, così confrontiamo i risultati. In alternativa puoi provare a derivare la tua primitiva e vedere se ti ritrovi la funzione integranda.

[kioccolatino90]

"piero_":comparso.

ooops

"piero_":prova a postare la soluzione finale, così confrontiamo i risultati. In alternativa puoi provare a derivare la tua primitiva e vedere se ti ritrovi la funzione integranda.

$D4/(3x)*sqrt((log^2x+4)^3)+C=$

$=(3x-12x)/(9x^2)*sqrt((log^2x+4)^3)+4/(3x)*1/(2sqrt((log^2x+4)^3))*3(log^2x+4)^2*2/x=$

$=-1/x*sqrt((log^2x+4)^3)+3*2/x*4/(3x)*(log^2x+4)^2*1/(2sqrt((log^2x+4)^3))=$

$=-1/x*sqrt((log^2x+4)^3)+4/x^2*(log^2x+4)^2*1/(sqrt((log^2x+4)^3))=$ semplifico la radice:

$=-1/x+4/x^2*(log^2x+4)^2=$ semplifico la $x^2$ con $(log^2x+4)^2$

$=-1/x+4/x*(log^2x+4)= 3/x(log^2x+4)$ e c'è qualcosa che non va...non mi trovo forse ho sbagliato qualche calcolo? io nn lo riesco a trovare...

[Pdirac]

"domy90":
$int (log^2x+4)^(1/2)dx= int (log^2x+4)^(1/2)*d(log^2x+4) = 2/x(log^2x+4)^(1/2+1)/(1/2+1)+C$

C'è un errore in questi passaggi (se ho intepretato bene in entrambi... ovviamente bastava il primo ma visto che ci siamo =P )
Nel primo passaggio, come fai a dire $ dx = d(log^2x+4)$ ? Se cambi la variabile di integrazione devi dividere per la sua derivata! Gli unici passaggi legittimi di questo genere sono nell'affermare che $dx = d(x+c)$ con $c$ una costante. In questo caso avresti dunque $dx = (d(log^2x+4))/(2logx/x)$.
Se come mi pare di aver capito (ma non ne sono sicuro) il passaggio successivo va interpretato come il tardivamente dividere per la derivata della nuova variabile di integrazione, oltre a essere concettualmente errato il fatto di effettuare la divisione dopo aver integrato il resto (molto comodo xD), è anche sbagliata la derivata.
Se non ci ho capito niente, spiegami il ragionamento che hai fatto in questi passaggi .

[kioccolatino90]

"Pdirac":... come fai a dire $ dx = d(log^2x+4)$ ? Se cambi la variabile di integrazione devi dividere per la sua derivata! Gli unici passaggi legittimi di questo genere sono nell'affermare che $dx = d(x+c)$ con $c$ una costante. In questo caso avresti dunque $dx = (d(log^2x+4))/(2logx/x)$.

se è come dici tu, hai ragione perchè io ho seguito questo esempio di integrale: $int sqrt(2x+1)= int (2x+1)^(1/2)*d(2x+1)$....

"Pdirac":Se come mi pare di aver capito (ma non ne sono sicuro) il passaggio successivo va interpretato come il tardivamente dividere per la derivata della nuova variabile di integrazione, oltre a essere concettualmente errato il fatto di effettuare la divisione dopo aver integrato il resto (molto comodo xD), è anche sbagliata la derivata.
Se non ci ho capito niente, spiegami il ragionamento che hai fatto in questi passaggi .

non ho capito questo secondo pezzo.....

[Pdirac]

"domy90":se è come dici tu, hai ragione perchè io ho seguito questo esempio di integrale: $int sqrt(2x+1)= int (2x+1)^(1/2)*d(2x+1)$....

Ma anche in questo caso è falso; dovrebbe essere: $int sqrt(2x+1)= int (2x+1)^(1/2)*(d(2x+1))/2$. In generale è $dx = (d(f(x)))/(f'(x))

non ho capito questo secondo pezzo.....

Riassunto: che ragionamento avevi fatto nel secondo passaggio di quelli che ho messo in evidenza?

[kioccolatino90]

già hai ragione non mi ero reso conto chè guardavo lo svolgimento di un altro esercizio adiacente all'esempio che ho postato, infatti lo svolgimento di $int sqrt(2x+1)$ è, in realtà, questo: $= int (2x+1)^(1/2)dx=$ $ 1/2 int (2x+1)^(1/2)*2dx=$ $1/2 int (2x+1)^(1/2)*d(2x+1)=$ $1/2*((2x+1)^(1/2+1))/(1/2+1)+C$.... se è sbagliato adesso è colpa del prof....

[Pdirac]

così è giusto

[piero_1]

ciao
ecco i miei calcoli:

[tex]$ \[\int {\frac{1}{x}\sqrt {\ln ^2 x + 4} \cdot dx}\]$[/tex]
[tex]$ \[\ln x = t \Rightarrow \frac{1}{x}dx = dt\]$[/tex]
il nostro integrale diventa:

[tex]$ \[\int {\sqrt {t^2 + 4} \cdot dt}\]$[/tex]

questo integrale è del tipo:

[tex]$ \[\int {\sqrt {t^2 + a^2 } \cdot dt}\]$[/tex]

e la primitiva si può trovare sulle tavole.
Nascondo i passaggi con i calcoli di questo integrale, per non rovinarti la festa.

partiamo da questo integrale:
(1)[tex]$\[\int {\frac{1}{{\sqrt {t^2 + a^2 } }} \cdot dt}\] $[/tex]
[tex]$\[=\int {\frac{{\sqrt {t^2 + a^2 } + t}}{{\sqrt {t^2 + a^2 } }} \cdot \frac{{dt}}{{\sqrt {t^2 +a^2 } + t}}}=\] $[/tex]
[tex]$\[ = \int {\frac{{1 + \frac{t}{{\sqrt {t^2 + a^2 } }}}}{{t + \sqrt {t^2 + a^2 } }} \cdot dt} = \ln(t + \sqrt {t^2 + a^2 } ) + c_1\] $[/tex]

veniamo all'integrale:

[tex]$ \[\int {\sqrt {t^2 + a^2 } \cdot dt}\]$[/tex]

risolvo per parti:

[tex]$\[= t \cdot \sqrt {t^2 + a^2 } - \int {\frac{{t^2 }}{{\sqrt {t^2 + a^2 } }} \cdot dt}\]$[/tex]
[tex]$ \[ = t \cdot \sqrt {t^2 + a^2 } - \int {\frac{{t^2 + a^2 - a^2 }}{{\sqrt {t^2 + a^2 } }} \cdotdt} =\]$[/tex]
[tex]$\[ = t \cdot \sqrt {t^2 + a^2 } - \int {\sqrt {t^2 + a^2 } \cdot dt} + \int {\frac{{a^2}}{{\sqrt {t^2 + a^2 } }} \cdot dt} =\]$[/tex]

trasporto il primo integrale al primo membro e, per il secondo, uso (1):

[tex]$\[2\int {\sqrt {t^2 + a^2 } \cdot dt} = t \cdot \sqrt {t^2 + a^2 } + a^2 \ln (t + \sqrt {t^2 +a^2 } ) + c_2\] $[/tex]
da cui:

[tex]$ \[\int {\sqrt {t^2 + a^2 } \cdot dt} = \frac{1}{2}(t \cdot \sqrt {t^2 + a^2 } + a^2 \ln (t + \sqrt {t^2+ a^2 } )) + c\]$[/tex]

in conclusione:

[tex]$\[\int {\frac{1}{x} \cdot \sqrt {\ln ^2 x + 4} \cdot dx} = \frac{1}{2}\ln x \cdot \sqrt {\ln ^2 x +4} + 2\ln \left( {\ln x + \sqrt {\ln ^2 x + 4} } \right) + c\] $[/tex]

[kioccolatino90]

ma quindi l'integrazione per parti non conviene????????

[piero_1]

probabilmente ci saranno anche metodi più rapidi, ma questo è il primo che mi è venuto in mente. Visto che ha funzionato e che non ci sono voluti più di 10 minuti, lascio ad altri le soluzioni alternative.

[kioccolatino90]

no perchè mi sembrava il metodo più adatto a me che procede per passi anche se lungi però anche il tuo non è male però non ho capito dove posso trovare le tavole con tutte le primitive in rete non trovo niente....

[Pdirac]

da $int sqrt(x^2+a^2) dx$ si può anche fare rapidamente con la sostituzione $x = sinht$.

[Raptorista1]

"Pdirac":da $int sqrt(x^2+a^2) dx$ si può anche fare rapidamente con la sostituzione $x = sinht$.

Ancora meglio: ogni volta che avete una forma $sqrt(x^2+a^2)$, sostituite $x = a \cdot \sinh (t)$.

[kioccolatino90]

ma così non si complica la situazione?

[Raptorista1]

Per niente, anzi te la semplifica assai: prova!

[kioccolatino90]

ok....appena finisco posto come mi esce.....

[kioccolatino90]

uffi non lo riesco a risolvere, parto da qui: $intsqrt((a*sinh (t))^2+a^2)dt$ e poi non so che regola applicare....

[Raptorista1]

Regola della potenza di un prodotto, proprietà distributiva [al contrario], regola della radice di una potenza. Un po' di fantasia!