Integrale indefinito
Ciao
non ho capito come risolvere questo integrale
$int 1/((1 + x^2)^2) dx$ io ho pensato di riscriverlo come $arctg^2(x)$
e poi svolgerlo per parti ma non sono sicuro si possa fare
altrimenti non so neanche da dove partire, qualcuno può aiutarmi?
non ho capito come risolvere questo integrale
$int 1/((1 + x^2)^2) dx$ io ho pensato di riscriverlo come $arctg^2(x)$
e poi svolgerlo per parti ma non sono sicuro si possa fare
altrimenti non so neanche da dove partire, qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Risulta di estrema utilità la formula di Hermite, di cui ti scrivo un esempio notevole:
$1/(z^2+omega^2)^2 = 1/(2omega^2) (1/(z^2+omega^2) + d/dz z/(z^2+omega^2)) AA omega in CC-{0}$
In realtà la formula di Hermite è ben più generale...
$1/(z^2+omega^2)^2 = 1/(2omega^2) (1/(z^2+omega^2) + d/dz z/(z^2+omega^2)) AA omega in CC-{0}$
In realtà la formula di Hermite è ben più generale...
Grazie Kroldar
non avevo mai sentito parlare della formula di Hermite ed ho cercato ma sul mio libro non c'è
comunque se $omega$ è un numero $in CC$, anche se non capisco cosa centrino i numeri complessi, cos'è z?
non avevo mai sentito parlare della formula di Hermite ed ho cercato ma sul mio libro non c'è
comunque se $omega$ è un numero $in CC$, anche se non capisco cosa centrino i numeri complessi, cos'è z?
$z$ è la variabile... puoi tranquillamente chiamarla $x$ se più ti fa piacere 
Ho usato $z$ per un motivo preciso: di solito con $z$ si indica la generica variabile complessa. Non è un caso neppure che abbia specificato $omega in CC-{0}$... la formula di Hermite è valida in tutto il campo complesso, quindi per funzioni di variabile complessa e a coefficienti complessi. Ovviamente il campo reale non è altro che una minuscola retta del campo complesso e quindi, se un risultato vale in campo complesso, a maggior ragione vale in campo reale.
Ho usato $z$ per un motivo preciso: di solito con $z$ si indica la generica variabile complessa. Non è un caso neppure che abbia specificato $omega in CC-{0}$... la formula di Hermite è valida in tutto il campo complesso, quindi per funzioni di variabile complessa e a coefficienti complessi. Ovviamente il campo reale non è altro che una minuscola retta del campo complesso e quindi, se un risultato vale in campo complesso, a maggior ragione vale in campo reale.
Ok grazie
io non li ho ancora studiati i numeri complessi quindi avevo qualche difficoltà a capire
adesso provo ad applicare la formula
io non li ho ancora studiati i numeri complessi quindi avevo qualche difficoltà a capire
adesso provo ad applicare la formula
Con la formula di Hermite quell'integrale lo risolvi in un passaggio 
Visto che non ho studiato la formula di Hermite come posso fare per risolverlo?
Studiala ora, è una semplice formula! Se il profesorre fa obiezioni gli dici quello che ho scritto io sul forum...
"baka":
Ciao
non ho capito come risolvere questo integrale
$int 1/((1 + x^2)^2) dx$ io ho pensato di riscriverlo come $arctg^2(x)$
e poi svolgerlo per parti ma non sono sicuro si possa fare
altrimenti non so neanche da dove partire, qualcuno può aiutarmi?
Risolverò integrali del tipo $int1/(a^2+-x^2)^ndx,n>=1$
Partiamo con il primo integrale $int1/(a^2-x^2)^ndx$: consideriamo
$int1/((a^2-x^2)^(n-1))dx$ con $n>1$. Integrando per parti otteniamo
$int1/((a^2-x^2)^(n-1))dx=x/((a^2-x^2)^(n-1))-int(2x^2(n-1))/((a^2-x^2)^(n))dx$
Analizziamo il termine $int(2x^2(n-1))/((a^2-x^2)^(n))dx$. Aggiungendo e sottraendo al numeratore il termine $2(n-1)a^2$ si ottiene:
$int(2x^2(n-1))/((a^2-x^2)^(n))dx=int(2x^2(n-1)+2a^2(n-1)-2a^2(n-1))/((a^2-x^2)^(n))dx=int(-2(n-1)(a^2-x^2))/((a^2-x^2)^n)dx+2a^2(n-1)int1/((a^2-x^2)^n)dx$
=$-2(n-1)*int1/((a^2-x^2)^(n-1))dx+2a^2(n-1)int1/((a^2-x^2)^n)dx$
per cui
$int1/((a^2-x^2)^(n-1))dx=x/((a^2-x^2)^(n-1))+2(n-1)*int1/((a^2-x^2)^(n-1))dx-2a^2(n-1)int1/((a^2-x^2)^n)dx$
da cui portando al primo membro il termine $-2a^2(n-1)int1/((a^2-x^2)^n)dx$ ed al secondo membro il termine $int1/((a^2-x^2)^(n-1))dx$ si ricava:
$int1/((a^2-x^2)^n)dx=1/(2a^2(n-1))*x/((a^2-x^2)^(n-1))+(2(n-1)-1)/(a^2*2(n-1))*int1/((a^2-x^2)^(n-1))dx$
In tal modo ricorsivamente $int1/((a^2-x^2)^(n-1))dx=1/(2a^2(n-2))*x/((a^2-x^2)^(n-2))+(2(n-2)-1)/(a^2*2(n-2))*int1/((a^2-x^2)^(n-2))dx$ e così via sino ad arrivare a ridursi all'integrale $int1/(a^2-x^2)dx=1/(2a)*ln|(a+x)/(a-x)|+C$
Analogamente
$int1/((a^2+x^2)^n)dx=1/(2a^2(n-1))*x/((a^2+x^2)^(n-1))+(2(n-1)-1)/(a^2*2(n-1))*int1/((a^2+x^2)^(n-1))dx$ e si procede ricorsivamente fino a ricondursi a $int1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctg(x/a)+C$
In conclusione la natura ricorsiva del calcolo dei suddetti integrali si traduce in tali formule:
$int1/((a^2-x^2)^n)dx={(1/(2a^2(n-1))*x/((a^2-x^2)^(n-1))+(2(n-1)-1)/(a^2*2(n-1))*int1/((a^2-x^2)^(n-1))dx,n>1),(1/(2a)*ln|(a+x)/(a-x)|,n=1):}$
e
$int1/((a^2+x^2)^n)dx={(1/(2a^2(n-1))*x/((a^2+x^2)^(n-1))+(2(n-1)-1)/(a^2*2(n-1))*int1/((a^2+x^2)^(n-1))dx,n>1),(1/a*arctg(x/a),n=1):}$
ESEMPIO 1
$int1/((a^2-x^2)^3)dx=1/(4a^2)*x/((a^2-x^2)^2)+3/(4a^2)*int1/((a^2-x^2)^2)dx$
Ora $int1/((a^2-x^2)^2)dx=1/(2a^2)*x/(a^2-x^2)+1/(a^2)*int1/(a^2-x^2)dx=1/(2a^2)*x/(a^2-x^2)+1/(2a^3)*ln|(a+x)/(a-x)|$ per cui
$int1/((a^2-x^2)^3)dx=1/(4a^2)*x/((a^2-x^2)^2)+3/(4a^2)*[1/(2a^2)*x/(a^2-x^2)+1/(2a^3)*ln|(a+x)/(a-x)|]$=
$1/(4a^2)*x/((a^2-x^2)^2)+3/(8a^4)*x/(a^2-x^2)+3/(8a^5)*ln|(a+x)/(a-x)|+K$
ESEMPIO 2
Analogamente
$int1/((a^2+x^2)^3)dx=1/(4a^2)*x/((a^2+x^2)^2)+3/(8a^4)*x/(a^2+x^2)+3/(8a^5)*arctg(x/a)+K$
Nel tuo caso specifico hai $int1/((a^2+x^2)^n)dx,a^2=1,n=2$ per cui la soluzione è
$int1/((1+x^2)^2)dx=1/2*x/(1+x^2)+1/2*int1/(1+x^2)dx=1/2*x/(1+x^2)+1/2*arctg(x)+K$
Mi sa che è molto meglio studiarsi la formula di Hermite! 
Scusate la domanda certamente banale: perchè non si può usare la solita decomposizione in fratti semplici?
Scusate la domanda certamente banale: perchè non si può usare la solita decomposizione in fratti semplici?
Certo che si può usare la normale decomposizione in fratti semplici, però viene lunga... con la formula di Hermite fai in un secondo... Morale della favola: la formula di Hermite è la cosa migliore!
"Kroldar":
Certo che si può usare la normale decomposizione in fratti semplici, però viene lunga... con la formula di Hermite fai in un secondo... Morale della favola: la formula di Hermite è la cosa migliore!
ma per chi non ha fatto i numeri complessi come glielo spieghi: allora l'unico modo o è la decomposizioni in fratti semplici o l'integrazione per parti.
La formula di Hermite non è complicata da capire... basta mettere $x$ al posto di $z$ e dire che $omega$ è un numero reale (anziché complesso) non nullo... non vedo insormontabili difficoltà
Oddio, poi se qualcuno vuole fare l'autolesionista e perdere più tempo... faccia pure! Non sta a me impedirgli di farsi del male...
Oddio, poi se qualcuno vuole fare l'autolesionista e perdere più tempo... faccia pure! Non sta a me impedirgli di farsi del male...
"Kroldar":
La formula di Hermite non è complicata da capire... basta mettere $x$ al posto di $z$ e dire che $omega$ è un numero reale (anziché complesso) non nullo... non vedo insormontabili difficoltà
l'avessero spiegata a te quando facevi analisi 1, l'avresti capita? se sì mi fa piacere per te, ma la maggior parte no.
e se il prof spiega gli integrali ed i classici metodi di risoluzione, all'esame ti permetteresti di risolvere un integrale col metodo di hermite che non hai fatto?
"nicasamarciano":
l'avessero spiegata a te quando facevi analisi 1, l'avresti capita? se sì mi fa piacere per te, ma la maggior parte no.
Caro nicasamarciano, non capisco il motivo del tuo stupore... Vediamo cosa dice in sostanza quella formula incriminata: una funzione razionale fratta può essere scritta come la somma tra una funzione razionale fratta e la derivata di una funzione razionale fratta. Basta sapere cos'è una funzione razionale fratta, cos'è una derivata e cosa vuol dire fare una somma. La si può capire anche al quinto anno di liceo. Almeno secondo il mio modesto parere... magari però mi sbaglio...
"nicasamarciano":
e se il prof spiega gli integrali ed i classici metodi di risoluzione, all'esame ti permetteresti di risolvere un integrale col metodo di hermite che non hai fatto?
Credo sia lodevole colui il quale approfondisce un argomento andando oltre lo stretto indispensabile per superare un esame... qui si vede la differenza tra chi studia per passione e chi studia per costrizione. Sempre limitatamente al mio modesto parere...
"Kroldar":
Credo sia lodevole colui il quale approfondisce un argomento andando oltre lo stretto indispensabile per superare un esame... qui si vede la differenza tra chi studia per passione e chi studia per costrizione. Sempre limitatamente al mio modesto parere...
ah, che meraviglia sarebbe, se ce ne fossero tanti ad andare oltre!
"Kroldar":
[quote="nicasamarciano"]
l'avessero spiegata a te quando facevi analisi 1, l'avresti capita? se sì mi fa piacere per te, ma la maggior parte no.
Caro nicasamarciano, non capisco il motivo del tuo stupore... Vediamo cosa dice in sostanza quella formula incriminata: una funzione razionale fratta può essere scritta come la somma tra una funzione razionale fratta e la derivata di una funzione razionale fratta. Basta sapere cos'è una funzione razionale fratta, cos'è una derivata e cosa vuol dire fare una somma. La si può capire anche al quinto anno di liceo. Almeno secondo il mio modesto parere... magari però mi sbaglio...
"nicasamarciano":
e se il prof spiega gli integrali ed i classici metodi di risoluzione, all'esame ti permetteresti di risolvere un integrale col metodo di hermite che non hai fatto?
Credo sia lodevole colui il quale approfondisce un argomento andando oltre lo stretto indispensabile per superare un esame... qui si vede la differenza tra chi studia per passione e chi studia per costrizione. Sempre limitatamente al mio modesto parere...[/quote]
caro kroldar, ti ricordo che mentre tu studi io già sono laureato per cui tale formula non la devi spiegare a me che credo di averla applicata molte più volte di te, per il semplice motivo che a TLC sono svariati i campi che richiedono l'applicazione di essa, ad informatica (credo se non erro là la vedi) la applichi solo a segnali e metodi, e basta.
poi: non discuto che sia lodevole il fatto che la differenza la fa chi appsofondisce: ma tu ad analisi hai avuto il tempo per approfondire la formula di hermite ed applicarla agli integrali: tu allora non sapevi nemmeno che esistesse, per cui risolvevi gli integrali così come te li spiegavano. quando si può fare a meno di usare formule che richiedono conoscenze ulteriori è meglio spiegarlo, per non essere suscettibili all'esame di eventuali copie da manuali matematici; io credo che un prof. quando assegna un esercizio lo assegni con l'idea che lo si possa fare con le nozioni che ti ha dato e voglia che tu lo faccia in tal modo, con quelle conoscenze. le conoscenza ulteriori possono essere usate come controprova, ma io dirò sempre di non usarle se non le hanno spiegate, perchè ribadisco si può incorrere nel pericolo di essere colpevolizzati di aver copiato da qualche parte.
"nicasamarciano":
io credo che un prof. quando assegna un esercizio lo assegni con l'idea che lo si possa fare con le nozioni che ti ha dato e voglia che tu lo faccia in tal modo, con quelle conoscenze. le conoscenza ulteriori possono essere usate come controprova, ma io dirò sempre di non usarle se non le hanno spiegate, perchè ribadisco si può incorrere nel pericolo di essere colpevolizzati di aver copiato da qualche parte.
1. "voglia che tu lo faccia in tal modo". Io non faccio così e non credo si debba fare così: se dò un esercizio evidentemente lo dò in modo che possa essere "risolto" con gli strumenti che lo studente è tenuto a sapere. Ma se usa qualcos'altro, mi fa solo un gran piacere. Purtroppo avviene di rado (e non solo per "pigrizia" degli studenti!)
2. copiare? se uno me lo risolve in modo canonico sono sicuro che non ha copiato?
"Fioravante Patrone":
[quote="nicasamarciano"]io credo che un prof. quando assegna un esercizio lo assegni con l'idea che lo si possa fare con le nozioni che ti ha dato e voglia che tu lo faccia in tal modo, con quelle conoscenze. le conoscenza ulteriori possono essere usate come controprova, ma io dirò sempre di non usarle se non le hanno spiegate, perchè ribadisco si può incorrere nel pericolo di essere colpevolizzati di aver copiato da qualche parte.
1. "voglia che tu lo faccia in tal modo". Io non faccio così e non credo si debba fare così: se dò un esercizio evidentemente lo dò in modo che possa essere "risolto" con gli strumenti che lo studente è tenuto a sapere. Ma se usa qualcos'altro, mi fa solo un gran piacere. Purtroppo avviene di rado (e non solo per "pigrizia" degli studenti!)
2. copiare? se uno me lo risolve in modo canonico sono sicuro che non ha copiato?[/quote]
ma mi trovo con te: ma l'esperienza personale mi ha insegnato il contrario: quante volte hanno tolto dei punti allo scritto perchè vedevano formule che loro non avevano spiegato e dicevano che il compito andava risolto con le nozioni date. fioravante mi fa piacere che sei il contrario di questi prof, ma quando ti trovi difronti tali prof, che scambiano tuoi approfondimenti per copiature da manuali, cosa gli dici? perciò io consiglio di usare gli approfondimenti come controprova in un esercizio e di non usarli quando non sono stati spiegati: ho visto perdere 5-6 punti allo scritto per tali motivi, e ciò ha penalizzato l'intero esame. tutti i docenti dovrebbero essere come te, ma tu mi insegni che pochi lo sono
"nicasamarciano":
caro kroldar, ti ricordo che mentre tu studi io già sono laureato
beato te
"nicasamarciano":
per cui tale formula l'ho applicata molte più volte io che tu,
non ho mai pensato il contrario infatti
"nicasamarciano":
per il semplice motivo che a TLC sono svariati i campi che richiedono l'applicazione di essa, ad informatica (credo se non erro là la vedi) la applichi solo a segnali e metodi. e basta.
sarei enormemente felice di poterti rispondere ma ho dato metodi e segnali appena l'anno scorso... non so il domani cosa mi riservi
"nicasamarciano":
poi: non discuto che sia lodevole il fatto che la differenza la fa chi appsofondisce: ma tu ad analisi hai avuto il tempo per approfondire la formula di hermite ed applicarla agli integrali: tu allora non sapevi nemmeno che esistesse, per cui risolvevi gli integrali così come te li spiegavano. quando si può fare a meno di usare formule che richiedono conoscenze ulteriori è meglio spiegarlo, per non essere suscettibili all'esame di eventuali copie da manuali matematici; io credo che un prof. quando assegna un esercizio lo assegni con l'idea che lo si possa fare con le nozioni che ti ha dato e voglia che tu lo faccia in tal modo, con quelle conoscenze. le conoscenza ulteriori possono essere usate come controprova, ma io dirò sempre di non usarle se non le hanno spiegate, perchè ribadisco si può incorrere nel pericolo di essere colpevolizzati di aver copiato da qualche parte.
tornando seri, permettimi di dissentire da quanto hai detto... la tua opinione legittima e rispettabile, però non mi sento di condividerla. personalmente apprezzo i professori che all'esame lasciano consultare qualunque tipo di appunti o testi vari, poiché, come ho già detto prima, sono favorevole a dare spazio a qualunque tipo di approfondimento e/o inventiva da parte dello studente nel risolvere un dato esercizio (esempio lampante il professore Greco che fa portare all'esame qualunque cosa, eppure lo scritto lo passano in pochissimi, tanto chi copia senza cognizione di causa non sa neanche cosa copiare... viceversa chi approfondisce cerca anche di capire cosa sta facendo e fa proprie nuove conoscenze). se fossi docente di analisi I e un mio alunno usasse la formula di Hermite in un compito valuterei la cosa in modo positivo... magari tu la valuteresti negativamente o magari specificheresti prima dell'esame che è vietato usare artifici non spiegati a lezione. punti di vista, ognuno ha una propria didattica... e meno male che è così! se tutti i professori fossero uguali gli esami diventerebbero prevedibili!
non dubito del fatto che se consigli a Dust di non usare quella formula lo fai per il suo bene, così come io consigliandogli di usarla cerco di fare altrettanto
nicasamarciano, quello che dici mi fa pensare (a proposito di certi prof che citi) che la madre degli ...* è sempre incinta
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