Integrale indefinito

[nico97it]

Buongiorno, riuscireste ad aiutarmi a risolvere il seguente integrale indefinito? Non riesco proprio a capire come proseguire.

$ int_()^() 12/(9+7sin^2(x)) dx $

Ho provato a fare la sostituzione con $ x=2arctan(t) $ ma niente.

[pilloeffe]

Ciao nico97it,

Farei così:

$ \int 12/(9+7sin^2 x) dx = 12 int 1/(9(sin^2 x + cos^2 x)+7sin^2 x) dx = 12 int 1/(9cos^2 x+16sin^2 x) dx = $
$ = 12/9 int 1/(1+16/9 tan^2 x) \frac{dx}{cos^2 x} = 4/3 int 1/(1+(4/3 tan x)^2) \frac{dx}{cos^2 x} $

Ora ponendo $t := 4/3 tan x \implies dt = 4/3 \frac{dx}{cos^2 x} $ dovresti riuscire a proseguire...

[nico97it]

Perfetto,grazie mille.

[nico97it]

Un ultimo dubbio riguardo a questo integrale. Devo calcolare l'integrale definito, ma il risultato mi viene 0 anzichè 2pigreco.

$ int_(0)^(2pi ) 12/(9cos^2(x)+16sin^2(x)) dx = [arctan(4/3tan(x))]=2pi $

Non capisco come faccia a venire 2pigreco. Dovrebbe venire 0 il risultato, in quanto l'arcotangente di 0 è 0.

[gugo82]

Se integri per sostituzione senza le dovute cautele accade sempre l'irreparabile.

[nico97it]

La primitiva è quella e gli estremi di integrazione anche.Anche se ho sostituito sono ritornato alla variabile iniziale, quindi non dovrebbe essere lì il problema. Continuo a non capire.

[pilloeffe]

Dai un'occhiata a questo thread.

[nico97it]

Grazie mille, ora ho capito. Quindi dovevo per forza riscrivere gli estremi di integrazione anche se la mia primitiva era una funzione composta di arctg? Mi spiego meglio. La funzione arctan(x) non è definita da 0 a 2pigreco, ma arctan(4/3*tan(x))? Come faccio a sapere che questa funzione composta non è definita da 0 a 2pigreco? Soni due funzioni diverse no?